Номер 5.35, страница 11, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

25. Окружность, круг, шар, цилиндр. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.35, страница 11.

5.35 При делении с остатком числа 222 на некоторое число получилось неполное частное 9. Найдите все такие делители этого числа и полученные при делении на них остатки.

Пусть $d$ – искомый делитель, а $r$ – остаток от деления. Согласно условию задачи, можно записать равенство, основанное на определении деления с остатком:

$222 = 9 \cdot d + r$

где $222$ – делимое, $d$ – делитель, $9$ – неполное частное, а $r$ – остаток.

По правилу деления с остатком, остаток всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя:

$0 \le r < d$

Из основного равенства выразим остаток $r$:

$r = 222 - 9d$

Теперь подставим это выражение в неравенство для остатка:

$0 \le 222 - 9d < d$

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств:

1) $0 \le 222 - 9d$
$9d \le 222$
$d \le \frac{222}{9}$
$d \le 24\frac{6}{9}$ или $d \le 24,(6)$

2) $222 - 9d < d$
$222 < 10d$
$\frac{222}{10} < d$
$22.2 < d$

Объединив результаты, мы видим, что делитель $d$ должен быть целым числом, удовлетворяющим условию:

$22.2 < d \le 24.(6)$

Этому диапазону принадлежат два целых числа: $d = 23$ и $d = 24$. Это и есть все возможные делители.

Теперь для каждого найденного делителя найдем соответствующий ему остаток $r$ по формуле $r = 222 - 9d$.

Если делитель $d = 23$:
$r = 222 - 9 \cdot 23 = 222 - 207 = 15$.
(Проверка: $0 \le 15 < 23$, условие выполняется).

Если делитель $d = 24$:
$r = 222 - 9 \cdot 24 = 222 - 216 = 6$.
(Проверка: $0 \le 6 < 24$, условие выполняется).

Ответ: возможны два случая: делитель 23 и остаток 15; делитель 24 и остаток 6.