Номер 5.491, страница 78, часть 2 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

37. Умножение дробей. § 5. Обыкновенные дроби. Глава 2. Дробные числа. ч. 2 - номер 5.491, страница 78.

5.491 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{61}{64} - (\frac{7}{12} - \frac{5}{14}) \cdot (\frac{13}{16} + \frac{1}{2}) $

Решим по действиям:

1. Вычислим разность в первой скобке. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 14. НОК(12, 14) = 84.
$ \frac{7}{12} - \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7} - \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{49}{84} - \frac{30}{84} = \frac{49 - 30}{84} = \frac{19}{84} $.

2. Вычислим сумму во второй скобке. Общий знаменатель для 16 и 2 равен 16.
$ \frac{13}{16} + \frac{1}{2} = \frac{13}{16} + \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{13}{16} + \frac{8}{16} = \frac{13 + 8}{16} = \frac{21}{16} $.

3. Выполним умножение результатов из скобок. Сократим 21 и 84 на 21 ($84 \div 21 = 4$).
$ \frac{19}{84} \cdot \frac{21}{16} = \frac{19 \cdot 21}{84 \cdot 16} = \frac{19 \cdot 1}{4 \cdot 16} = \frac{19}{64} $.

4. Выполним вычитание.
$ \frac{61}{64} - \frac{19}{64} = \frac{61 - 19}{64} = \frac{42}{64} $. Сократим дробь на 2: $ \frac{21}{32} $.

Ответ: $ \frac{21}{32} $.

б) $ (1 - \frac{11}{17}) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18}) $

Решим по действиям:

1. Вычислим значение в первой скобке.
$ 1 - \frac{11}{17} = \frac{17}{17} - \frac{11}{17} = \frac{17 - 11}{17} = \frac{6}{17} $.

2. Вычислим значение во второй скобке. Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 12 и 18. НОК(4, 12, 18) = 36.
$ \frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18} = \frac{3 \cdot 9}{36} - \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{11 \cdot 2}{36} = \frac{27 - 15 + 22}{36} = \frac{12 + 22}{36} = \frac{34}{36} = \frac{17}{18} $.

3. Выполним умножение результатов. Сократим 17 и 17, а также 6 и 18 ($18 \div 6 = 3$).
$ \frac{6}{17} \cdot \frac{17}{18} = \frac{6 \cdot 17}{17 \cdot 18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

в) $ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $

Чтобы найти значение выражения, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 2, 3, 4, 5, 6 равно 60.
$ 1 = \frac{60}{60}; \frac{1}{2} = \frac{30}{60}; \frac{1}{3} = \frac{20}{60}; \frac{1}{4} = \frac{15}{60}; \frac{1}{5} = \frac{12}{60}; \frac{1}{6} = \frac{10}{60} $.

Подставим значения в выражение:
$ \frac{60}{60} - \frac{30}{60} + \frac{20}{60} - \frac{15}{60} + \frac{12}{60} - \frac{10}{60} = \frac{60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10}{60} $.

Вычислим числитель:
$ 60 - 30 = 30 $
$ 30 + 20 = 50 $
$ 50 - 15 = 35 $
$ 35 + 12 = 47 $
$ 47 - 10 = 37 $.

Результат: $ \frac{37}{60} $.

Ответ: $ \frac{37}{60} $.

г) $ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20} + \frac{9}{20} $

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления:
$ (\frac{1}{8} + \frac{3}{8}) + (\frac{1}{12} + \frac{5}{12}) + (\frac{1}{16} + \frac{7}{16}) + (\frac{1}{20} + \frac{9}{20}) $.

Вычислим сумму в каждой группе:
1) $ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
2) $ \frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $
3) $ \frac{1}{16} + \frac{7}{16} = \frac{1+7}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
4) $ \frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{1+9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $.

Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.