номер 1005, страница 62, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1005. Решите неравенство:

1)

$\frac{x-3}{14} - \frac{x-7}{35} + \frac{2x+3}{5} \ge 0,1;$

2)

$\frac{5-3y}{11} + \frac{y-4}{10} - \frac{2+3y}{2} < \frac{2}{11}.$

1)

Решим неравенство: $\frac{x-3}{14} - \frac{x-7}{35} + \frac{2x+3}{5} \ge 0,1$.

Сначала представим десятичную дробь $0,1$ в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{10}$:

$\frac{x-3}{14} - \frac{x-7}{35} + \frac{2x+3}{5} \ge \frac{1}{10}$

Для того чтобы избавиться от дробей, приведем все члены неравенства к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 14, 35, 5 и 10.

Разложим знаменатели на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$; $35 = 5 \cdot 7$; $5 = 5$; $10 = 2 \cdot 5$.

НОК(14, 35, 5, 10) = $2 \cdot 5 \cdot 7 = 70$.

Умножим обе части неравенства на 70. Поскольку 70 – положительное число, знак неравенства сохраняется.

$70 \cdot \frac{x-3}{14} - 70 \cdot \frac{x-7}{35} + 70 \cdot \frac{2x+3}{5} \ge 70 \cdot \frac{1}{10}$

Вычислим дополнительные множители и упростим выражение:

$5(x-3) - 2(x-7) + 14(2x+3) \ge 7$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$5x - 15 - 2x + 14 + 28x + 42 \ge 7$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x - 2x + 28x) + (-15 + 14 + 42) \ge 7$

$31x + 41 \ge 7$

Перенесем 41 в правую часть с противоположным знаком:

$31x \ge 7 - 41$

$31x \ge -34$

Разделим обе части на 31:

$x \ge -\frac{34}{31}$

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-\frac{34}{31}; +\infty)$.

Ответ: $[-\frac{34}{31}; +\infty)$.

2)

Решим неравенство: $\frac{5-3y}{11} + \frac{y-4}{10} - \frac{2+3y}{2} < \frac{2}{11}$.

Для избавления от знаменателей умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное (НОК). Знаменатели: 11, 10, 2.

НОК(11, 10, 2) = 110.

Умножим обе части неравенства на 110. Знак неравенства не меняется, так как 110 > 0.

$110 \cdot \frac{5-3y}{11} + 110 \cdot \frac{y-4}{10} - 110 \cdot \frac{2+3y}{2} < 110 \cdot \frac{2}{11}$

Упростим, выполнив сокращение:

$10(5-3y) + 11(y-4) - 55(2+3y) < 10 \cdot 2$

$10(5-3y) + 11(y-4) - 55(2+3y) < 20$

Раскроем скобки:

$50 - 30y + 11y - 44 - 110 - 165y < 20$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(-30y + 11y - 165y) + (50 - 44 - 110) < 20$

$-184y - 104 < 20$

Перенесем -104 в правую часть, изменив знак:

$-184y < 20 + 104$

$-184y < 124$

Разделим обе части на -184. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y > \frac{124}{-184}$

Сократим полученную дробь. $124 = 4 \cdot 31$ и $184 = 4 \cdot 46$.

$y > -\frac{31}{46}$

Решением неравенства является интервал $(-\frac{31}{46}; +\infty)$.

Ответ: $(-\frac{31}{46}; +\infty)$.