номер 1008, страница 62, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1008. Найдите все значения переменной a, при которых:

1) значение суммы дробей $\frac{3a-2}{4}$ и $\frac{5a+4}{3}$ меньше или равно значению выражения $\frac{a-49}{6}$;

2) значение разности дробей $\frac{a+1}{4}$ и $\frac{a-2}{3}$ больше или равно значению выражения $\frac{5a}{2}$.

1) Согласно условию, значение суммы дробей $\frac{3a-2}{4}$ и $\frac{5a+4}{3}$ меньше или равно значению выражения $\frac{a-49}{6}$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{3a-2}{4} + \frac{5a+4}{3} \le \frac{a-49}{6}$

Чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 3 и 6), которое равно 12. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства сохраняется.

$12 \cdot \left(\frac{3a-2}{4}\right) + 12 \cdot \left(\frac{5a+4}{3}\right) \le 12 \cdot \left(\frac{a-49}{6}\right)$

$3(3a-2) + 4(5a+4) \le 2(a-49)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$9a - 6 + 20a + 16 \le 2a - 98$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$29a + 10 \le 2a - 98$

Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $\text{a}$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$29a - 2a \le -98 - 10$

$27a \le -108$

Разделим обе части неравенства на 27:

$a \le \frac{-108}{27}$

$a \le -4$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; -4]$.

Ответ: $a \le -4$.

2) Согласно условию, значение разности дробей $\frac{a+1}{4}$ и $\frac{a-2}{3}$ больше или равно значению выражения $\frac{5a}{2}$. Составим и решим соответствующее неравенство:

$\frac{a+1}{4} - \frac{a-2}{3} \ge \frac{5a}{2}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 3 и 2), которое равно 12. Знак неравенства при этом не изменится.

$12 \cdot \left(\frac{a+1}{4}\right) - 12 \cdot \left(\frac{a-2}{3}\right) \ge 12 \cdot \left(\frac{5a}{2}\right)$

$3(a+1) - 4(a-2) \ge 6(5a)$

Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак минус:

$3a + 3 - 4a + 8 \ge 30a$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-a + 11 \ge 30a$

Перенесем слагаемые с переменной $\text{a}$ в правую часть, а числовые слагаемые оставим в левой:

$11 \ge 30a + a$

$11 \ge 31a$

Чтобы выразить $\text{a}$, разделим обе части на 31 и запишем неравенство в привычном виде:

$a \le \frac{11}{31}$

Решением неравенства является промежуток $(-\infty; \frac{11}{31}]$.

Ответ: $a \le \frac{11}{31}$.