номер 1052, страница 74, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1052. Запишите в виде двойного неравенства неравенство с модулем:

1) $|x + 3| < 4$;

2) $|x - 1| \le 2$;

3) $|5 + x| < 8$;

4) $|6 - x| \le \frac{2}{3}$;

5) $|4 - 3x| < 4,7$;

6) $|8\frac{1}{7} + 5x| < 1$.

1) Чтобы записать неравенство с модулем $|x + 3| < 4$ в виде двойного неравенства, воспользуемся свойством: неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применяя это свойство, получаем:

$-4 < x + 3 < 4$

Теперь вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы найти значение $x$:

$-4 - 3 < x + 3 - 3 < 4 - 3$

$-7 < x < 1$

Ответ: $-7 < x < 1$

2) Неравенство с модулем $|x - 1| \le 2$ раскрывается по свойству: $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно $-b \le a \le b$.

Применяем это свойство:

$-2 \le x - 1 \le 2$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-2 + 1 \le x - 1 + 1 \le 2 + 1$

$-1 \le x \le 3$

Ответ: $-1 \le x \le 3$

3) Для неравенства $|5 + x| < 8$ используем то же свойство, что и в первом пункте: $-b < a < b$.

Получаем двойное неравенство:

$-8 < 5 + x < 8$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-8 - 5 < 5 + x - 5 < 8 - 5$

$-13 < x < 3$

Ответ: $-13 < x < 3$

4) Неравенство $|6 - x| \le \frac{2}{3}$ равносильно двойному неравенству $-\frac{2}{3} \le 6 - x \le \frac{2}{3}$.

Вычтем 6 из всех частей:

$-\frac{2}{3} - 6 \le 6 - x - 6 \le \frac{2}{3} - 6$

$-\frac{2}{3} - \frac{18}{3} \le -x \le \frac{2}{3} - \frac{18}{3}$

$-\frac{20}{3} \le -x \le -\frac{16}{3}$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$\frac{20}{3} \ge x \ge \frac{16}{3}$

Запишем в привычном виде, поменяв части местами:

$\frac{16}{3} \le x \le \frac{20}{3}$

Это можно также записать в виде смешанных чисел: $5\frac{1}{3} \le x \le 6\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3} \le x \le \frac{20}{3}$

5) Раскроем неравенство с модулем $|4 - 3x| < 4,7$ в виде двойного неравенства:

$-4,7 < 4 - 3x < 4,7$

Вычтем 4 из всех частей:

$-4,7 - 4 < 4 - 3x - 4 < 4,7 - 4$

$-8,7 < -3x < 0,7$

Разделим все части на $-3$, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:

$\frac{-8,7}{-3} > x > \frac{0,7}{-3}$

Вычисляем:

$2,9 > x > -\frac{7}{30}$

Запишем в стандартном виде (меньшее число слева, большее — справа):

$-\frac{7}{30} < x < 2,9$

Ответ: $-\frac{7}{30} < x < 2,9$

6) Для неравенства $|8\frac{1}{7} + 5x| < 1$ применяем свойство $|a| < b \iff -b < a < b$.

$-1 < 8\frac{1}{7} + 5x < 1$

Вычтем $8\frac{1}{7}$ из всех частей. Для удобства представим $8\frac{1}{7}$ как неправильную дробь: $8\frac{1}{7} = \frac{57}{7}$.

$-1 - \frac{57}{7} < 5x < 1 - \frac{57}{7}$

$-\frac{7}{7} - \frac{57}{7} < 5x < \frac{7}{7} - \frac{57}{7}$

$-\frac{64}{7} < 5x < -\frac{50}{7}$

Разделим все части на $5$:

$-\frac{64}{7 \cdot 5} < x < -\frac{50}{7 \cdot 5}$

$-\frac{64}{35} < x < -\frac{50}{35}$

Сократим правую дробь: $-\frac{50}{35} = -\frac{10}{7}$.

$-\frac{64}{35} < x < -\frac{10}{7}$

Ответ: $-\frac{64}{35} < x < -\frac{10}{7}$