номер 1056, страница 75, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1056. Можно ли из первого неравенства получить второе неравенство:

1) $|x| \le 4$ и $0 \le x + 4 \le 8$;

2) $|x| < 10$ и $-15 < x - 5 < 5$;

3) $|x| \le 6$ и $-18 \le 3x \le 18$;

4) $|x| < 14$ и $-2 < \frac{1}{7}x < 2$?

1)

Для того чтобы определить, можно ли из первого неравенства получить второе, нужно сравнить их множества решений. Если множества решений совпадают, то одно неравенство можно получить из другого с помощью равносильных преобразований.

Решим первое неравенство $|x| \le 4$. По определению модуля, это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-4 \le x \le 4$.

Множеством решений является отрезок $[-4, 4]$.

Теперь решим второе неравенство $0 \le x + 4 \le 8$. Чтобы найти $\text{x}$, вычтем 4 из всех частей двойного неравенства:

$0 - 4 \le x + 4 - 4 \le 8 - 4$

$-4 \le x \le 4$.

Множеством решений этого неравенства также является отрезок $[-4, 4]$.

Так как множества решений обоих неравенств совпадают, это означает, что они равносильны. Чтобы получить второе неравенство из первого, нужно сначала раскрыть модуль $|x| \le 4$ как $-4 \le x \le 4$, а затем прибавить 4 ко всем частям полученного неравенства.

Ответ: да.

2)

Решим первое неравенство $|x| < 10$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-10 < x < 10$.

Множеством решений является интервал $(-10, 10)$.

Решим второе неравенство $-15 < x - 5 < 5$. Чтобы найти $\text{x}$, прибавим 5 ко всем частям двойного неравенства:

$-15 + 5 < x - 5 + 5 < 5 + 5$

$-10 < x < 10$.

Множеством решений этого неравенства также является интервал $(-10, 10)$.

Поскольку множества решений совпадают, неравенства равносильны. Чтобы получить второе неравенство из первого, нужно раскрыть модуль $|x| < 10$ как $-10 < x < 10$, а затем вычесть 5 из всех частей.

Ответ: да.

3)

Решим первое неравенство $|x| \le 6$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-6 \le x \le 6$.

Множеством решений является отрезок $[-6, 6]$.

Решим второе неравенство $-18 \le 3x \le 18$. Чтобы найти $\text{x}$, разделим все части двойного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-18}{3} \le \frac{3x}{3} \le \frac{18}{3}$

$-6 \le x \le 6$.

Множеством решений этого неравенства также является отрезок $[-6, 6]$.

Так как множества решений совпадают, неравенства равносильны. Второе неравенство можно получить из первого, раскрыв модуль $|x| \le 6$ как $-6 \le x \le 6$ и умножив все части на 3.

Ответ: да.

4)

Решим первое неравенство $|x| < 14$. Оно равносильно двойному неравенству:

$-14 < x < 14$.

Множеством решений является интервал $(-14, 14)$.

Решим второе неравенство $-2 < \frac{1}{7}x < 2$. Чтобы найти $\text{x}$, умножим все части двойного неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-2 \cdot 7 < \frac{1}{7}x \cdot 7 < 2 \cdot 7$

$-14 < x < 14$.

Множеством решений этого неравенства также является интервал $(-14, 14)$.

Поскольку множества решений совпадают, неравенства равносильны. Чтобы получить второе неравенство из первого, нужно раскрыть модуль $|x| < 14$ как $-14 < x < 14$, а затем умножить все части на $\frac{1}{7}$ (или разделить на 7).

Ответ: да.