номер 1057, страница 75, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1057. Верно ли, что если:

1) $|x| < 20$, то $-10 < x + 10 < 30;$

2) $|x| \le 5$, то $-50 \le -10x \le 50;$

3) $|x| < 1,2$, то $-4 < 5x - 1 < 7;$

4) $|x| \le \frac{3}{11}$, то $\frac{5}{11} < \frac{8}{11} - x < 1$?

1) Исходное неравенство $|x| < 20$ равносильно двойному неравенству $-20 < x < 20$. Чтобы получить выражение $x + 10$, прибавим ко всем частям неравенства число 10:

$-20 + 10 < x + 10 < 20 + 10$

$-10 < x + 10 < 30$

Полученное неравенство совпадает с неравенством в условии. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

2) Исходное неравенство $|x| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$. Чтобы получить выражение $-10x$, умножим все части неравенства на -10. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-5 \cdot (-10) \ge -10x \ge 5 \cdot (-10)$

$50 \ge -10x \ge -50$

Запишем это неравенство в более привычном виде, поменяв местами левую и правую части:

$-50 \le -10x \le 50$

Полученное неравенство совпадает с неравенством в условии. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: Верно.

3) Исходное неравенство $|x| < 1,2$ равносильно двойному неравенству $-1,2 < x < 1,2$. Чтобы получить выражение $5x - 1$, сначала умножим все части неравенства на 5:

$-1,2 \cdot 5 < 5x < 1,2 \cdot 5$

$-6 < 5x < 6$

Теперь вычтем из всех частей неравенства 1:

$-6 - 1 < 5x - 1 < 6 - 1$

$-7 < 5x - 1 < 5$

В условии же указано неравенство $-4 < 5x - 1 < 7$. Сравним полученный нами промежуток $(-7; 5)$ с промежутком из условия $(-4; 7)$. Наш результат означает, что выражение $5x - 1$ может принимать значения, которые не входят в промежуток $(-4; 7)$. Например, если $x = -1,1$ (что удовлетворяет условию $|x| < 1,2$), то $5x-1 = 5(-1,1) - 1 = -5,5 - 1 = -6,5$. Число $-6,5$ не принадлежит интервалу $(-4; 7)$, так как $-6,5 < -4$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.

4) Исходное неравенство $|x| \le \frac{3}{11}$ равносильно двойному неравенству $-\frac{3}{11} \le x \le \frac{3}{11}$. Чтобы получить выражение $\frac{8}{11} - x$, сначала умножим все части неравенства на -1, поменяв знаки неравенства на противоположные:

$-(\frac{3}{11}) \ge -x \ge -(-\frac{3}{11})$

$-\frac{3}{11} \le -x \le \frac{3}{11}$

Теперь прибавим ко всем частям неравенства $\frac{8}{11}$:

$\frac{8}{11} - \frac{3}{11} \le \frac{8}{11} - x \le \frac{8}{11} + \frac{3}{11}$

$\frac{5}{11} \le \frac{8}{11} - x \le \frac{11}{11}$

$\frac{5}{11} \le \frac{8}{11} - x \le 1$

В условии же указано строгое неравенство $\frac{5}{11} < \frac{8}{11} - x < 1$. Наш результат показывает, что выражение $\frac{8}{11} - x$ может быть равно $\frac{5}{11}$ (при $x = \frac{3}{11}$) и может быть равно $\text{1}$ (при $x = -\frac{3}{11}$). Эти значения не удовлетворяют строгому неравенству из условия. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.