номер 2, страница 77, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Можно ли заменить двойным неравенством неравенство $|x| > 1$?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проанализировать множества решений, которые описывают неравенство $|x| > 1$ и двойное неравенство.

1. Анализ неравенства $|x| > 1$

Неравенство $|x| > 1$ означает, что модуль (абсолютная величина) числа $\text{x}$ больше 1. Геометрически модуль числа — это расстояние от точки, соответствующей этому числу на координатной прямой, до начала отсчета (точки 0). Следовательно, мы ищем все точки на числовой прямой, расстояние от которых до нуля строго больше 1.

Этому условию удовлетворяют две группы чисел:

• Числа, которые больше 1: $x > 1$.
• Числа, которые меньше -1: $x < -1$.

Решение неравенства $|x| > 1$ является объединением (совокупностью) этих двух условий. На языке множеств это записывается как объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. Графически это два расходящихся в разные стороны луча, не включая точки -1 и 1.

2. Анализ двойного неравенства

Двойное неравенство имеет вид $a < x < b$ (или с нестрогими знаками). Оно задает множество всех чисел, которые одновременно больше $\text{a}$ и меньше $\text{b}$. Геометрически такое множество всегда представляет собой один непрерывный интервал $(a; b)$ на числовой прямой.

3. Сравнение и вывод

Множество решений неравенства $|x| > 1$ состоит из двух раздельных, непересекающихся частей. В то же время любое двойное неравенство описывает один сплошной интервал. Невозможно с помощью одного двойного неравенства описать множество, состоящее из двух отдельных частей.

Таким образом, неравенство $|x| > 1$ нельзя заменить одним двойным неравенством. Оно эквивалентно совокупности двух простых неравенств: $ \left[ \begin{array}{l} x > 1, \\ x < -1. \end{array} \right. $

Для сравнения, неравенство $|x| < 1$ можно заменить двойным неравенством $-1 < x < 1$, так как его решение представляет собой один непрерывный интервал $(-1; 1)$.

Ответ: нет, нельзя. Решением неравенства $|x| > 1$ является объединение двух непересекающихся интервалов $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, в то время как двойное неравенство всегда описывает один непрерывный интервал.