номер 1064, страница 77, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (1063–1066):

1064.

1) $|5\frac{1}{3} + x| \ge 7;$

2) $|x - 6\frac{2}{9}| < 8;$

3) $|x + 7\frac{3}{14}| > 9;$

4) $|3 - x| \le 2;$

5) $|10 - x| > 11;$

6) $|15 - x| < 17.$

1) $|5\frac{1}{3} + x| \ge 7$

Неравенство с модулем вида $|a| \ge b$, где $b>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

В данном случае получаем:

$5\frac{1}{3} + x \ge 7$ или $5\frac{1}{3} + x \le -7$

Решим первое неравенство:

$x \ge 7 - 5\frac{1}{3}$

$x \ge \frac{21}{3} - \frac{16}{3}$

$x \ge \frac{5}{3}$

$x \ge 1\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:

$x \le -7 - 5\frac{1}{3}$

$x \le -(7 + 5\frac{1}{3})$

$x \le -12\frac{1}{3}$

Объединяя решения, получаем множество $x \in (-\infty, -12\frac{1}{3}] \cup [1\frac{2}{3}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -12\frac{1}{3}] \cup [1\frac{2}{3}, +\infty)$.

2) $|x - 6\frac{2}{9}| < 8$

Неравенство с модулем вида $|a| < b$, где $b>0$, равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

В данном случае получаем:

$-8 < x - 6\frac{2}{9} < 8$

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим ко всем частям неравенства $6\frac{2}{9}$:

$-8 + 6\frac{2}{9} < x < 8 + 6\frac{2}{9}$

$-1\frac{7}{9} < x < 14\frac{2}{9}$

Решение неравенства: $x \in (-1\frac{7}{9}, 14\frac{2}{9})$.

Ответ: $(-1\frac{7}{9}, 14\frac{2}{9})$.

3) $|x + 7\frac{3}{14}| > 9$

Неравенство с модулем вида $|a| > b$, где $b>0$, равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

В данном случае получаем:

$x + 7\frac{3}{14} > 9$ или $x + 7\frac{3}{14} < -9$

Решим первое неравенство:

$x > 9 - 7\frac{3}{14}$

$x > 8\frac{14}{14} - 7\frac{3}{14}$

$x > 1\frac{11}{14}$

Решим второе неравенство:

$x < -9 - 7\frac{3}{14}$

$x < -(9 + 7\frac{3}{14})$

$x < -16\frac{3}{14}$

Объединяя решения, получаем множество $x \in (-\infty, -16\frac{3}{14}) \cup (1\frac{11}{14}, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -16\frac{3}{14}) \cup (1\frac{11}{14}, +\infty)$.

4) $|3 - x| \le 2$

Используем свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, поэтому $|3-x| = |x-3|$. Неравенство принимает вид $|x-3| \le 2$.

Неравенство вида $|a| \le b$, где $b \ge 0$, равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

$-2 \le x-3 \le 2$

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим ко всем частям неравенства 3:

$-2+3 \le x \le 2+3$

$1 \le x \le 5$

Решение неравенства: $x \in [1, 5]$.

Ответ: $[1, 5]$.

5) $|10 - x| > 11$

Используем свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, поэтому $|10-x| = |x-10|$. Неравенство принимает вид $|x-10| > 11$.

Неравенство вида $|a| > b$, где $b>0$, равносильно совокупности неравенств $a > b$ или $a < -b$.

$x-10 > 11$ или $x-10 < -11$

Решим первое неравенство:

$x > 11+10$

$x > 21$

Решим второе неравенство:

$x < -11+10$

$x < -1$

Объединяя решения, получаем множество $x \in (-\infty, -1) \cup (21, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -1) \cup (21, +\infty)$.

6) $|15 - x| < 17$

Используем свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, поэтому $|15-x| = |x-15|$. Неравенство принимает вид $|x-15| < 17$.

Неравенство вида $|a| < b$, где $b>0$, равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

$-17 < x-15 < 17$

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим ко всем частям неравенства 15:

$-17+15 < x < 17+15$

$-2 < x < 32$

Решение неравенства: $x \in (-2, 32)$.

Ответ: $(-2, 32)$.