номер 1069, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (1069–1071):

1069.

1) $|1 + 2x| < 9;$

2) $|3 + 2x| \le 5;$

3) $|1 - 2x| \ge 7.$

1)

Исходное неравенство: $|1 + 2x| < 9$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применив это правило, получаем:

$-9 < 1 + 2x < 9$

Вычтем 1 из всех частей двойного неравенства:

$-9 - 1 < 2x < 9 - 1$

$-10 < 2x < 8$

Разделим все части неравенства на 2:

$-5 < x < 4$

Решением является интервал от -5 до 4, не включая концы.

Ответ: $(-5; 4)$.

2)

Исходное неравенство: $|3 + 2x| \le 5$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

В данном случае:

$-5 \le 3 + 2x \le 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 \le 2x \le 5 - 3$

$-8 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$-4 \le x \le 1$

Решением является числовой отрезок от -4 до 1, включая концы.

Ответ: $[-4; 1]$.

3)

Исходное неравенство: $|1 - 2x| \ge 7$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$1 - 2x \ge 7$ или $1 - 2x \le -7$.

Решим первое неравенство:

$1 - 2x \ge 7$

$-2x \ge 7 - 1$

$-2x \ge 6$

Разделим на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -3$

Теперь решим второе неравенство:

$1 - 2x \le -7$

$-2x \le -7 - 1$

$-2x \le -8$

Разделим на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge 4$

Объединяя решения, получаем, что $\text{x}$ принадлежит объединению двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.