номер 1072, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1072. Запишите в виде неравенства с модулем изображенный на рисунке 90 числовой промежуток:

1) $1 \le x \le 7$

2) $-7 < x < -3$

3) $2 \le x < 8$

4) $6 \le x \le 14$

5) $x \le -9$ или $x \ge 1$

6) $x < 3$ или $x > 9$

Рис. 90

1) На рисунке изображен числовой промежуток $[1, 7]$. Это замкнутый отрезок. Чтобы записать его в виде неравенства с модулем, нужно найти центр отрезка и его полудлину (радиус).

Центр отрезка $c$ вычисляется как среднее арифметическое его концов:

$c = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Радиус $r$ — это половина длины отрезка:

$r = \frac{7 - 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Для отрезка $[a, b]$ неравенство с модулем имеет вид $|x - c| \le r$. Подставляя наши значения, получаем:

$|x - 4| \le 3$

Ответ: $|x - 4| \le 3$

2) На рисунке изображен числовой промежуток $(-7, -3)$. Это открытый интервал. Как и в предыдущем случае, найдем его центр и радиус.

Центр интервала $c$:

$c = \frac{-7 + (-3)}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Радиус $r$:

$r = \frac{-3 - (-7)}{2} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Для интервала $(a, b)$ неравенство с модулем имеет вид $|x - c| < r$. Подставляя наши значения, получаем:

$|x - (-5)| < 2$, что равносильно $|x + 5| < 2$.

Ответ: $|x + 5| < 2$

3) На рисунке изображен полуинтервал $[2, 8)$, что соответствует двойному неравенству $2 \le x < 8$. Найдем центр $c$ и полудлину $r$ соответствующего отрезка $[2, 8]$.

Центр: $c = \frac{2 + 8}{2} = 5$.

Полудлина: $r = \frac{8 - 2}{2} = 3$.

Стандартные неравенства с модулем задают симметричные промежутки. Например, неравенство $|x - 5| \le 3$ описывает замкнутый отрезок $[2, 8]$, а неравенство $|x - 5| < 3$ описывает открытый интервал $(2, 8)$. Поскольку данный промежуток $[2, 8)$ не является симметричным в смысле включения конечных точек (левый конец включен, а правый — нет), его невозможно представить в виде одного простого неравенства с модулем вида $|x - c| \circ r$ (где $\circ$ — один из знаков $<$, $>$, $\le$, $\ge$).

Ответ: Данный числовой промежуток невозможно записать в виде одного простого неравенства с модулем.

4) На рисунке изображен числовой промежуток $[6, 14]$. Это замкнутый отрезок. Найдем его центр и радиус.

Центр отрезка $c$:

$c = \frac{6 + 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Радиус $r$:

$r = \frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Неравенство для замкнутого отрезка имеет вид $|x - c| \le r$. Подставляем найденные значения:

$|x - 10| \le 4$

Ответ: $|x - 10| \le 4$

5) На рисунке изображено объединение двух лучей $(-\infty, -9] \cup [1, +\infty)$. Это множество точек, которые находятся вне отрезка $(-9, 1)$. Чтобы записать это в виде неравенства с модулем, найдем центр и радиус "промежутка" между лучами.

Центр промежутка $c$:

$c = \frac{-9 + 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Радиус (половина длины промежутка) $r$:

$r = \frac{1 - (-9)}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Поскольку концы промежутка ($-9$ и $1$) включены в решение, мы используем нестрогий знак неравенства $\ge$. Неравенство имеет вид $|x - c| \ge r$.

$|x - (-4)| \ge 5$, что равносильно $|x + 4| \ge 5$.

Ответ: $|x + 4| \ge 5$

6) На рисунке изображено объединение двух лучей $(-\infty, 3) \cup (9, +\infty)$. Это множество точек вне отрезка $[3, 9]$. Найдем центр и радиус этого отрезка.

Центр отрезка $c$:

$c = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Радиус $r$:

$r = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Поскольку концы промежутка ($3$ и $9$) не включены в решение (выколотые точки), мы используем строгий знак неравенства $>$. Неравенство имеет вид $|x - c| > r$.

$|x - 6| > 3$

Ответ: $|x - 6| > 3$