номер 1077, страница 79, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1077. Найдите такие натуральные числа, при которых одновременно верны неравенства:

1) $|x| \le 4$ и $|x - 5| < 8$;

2) $|9 - x| \le 12$ и $|x| < 5$;

3) $|x + 7| > 11$ и $|x| \le 7$;

4) $|x| \ge 1$ и $|x - 3| < 3$.

1) Требуется найти натуральные числа $\text{x}$, для которых одновременно верны неравенства $|x| \le 4$ и $|x - 5| < 8$.

Решим первое неравенство: $|x| \le 4$.

Поскольку $\text{x}$ - натуральное число, то $x > 0$, и следовательно, $|x| = x$.

Неравенство принимает вид $x \le 4$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4$.

Решим второе неравенство: $|x - 5| < 8$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-8 < x - 5 < 8$.

Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $-8 + 5 < x < 8 + 5$, что дает $-3 < x < 13$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$.

Теперь найдем числа, которые удовлетворяют обоим условиям, то есть найдем пересечение множеств $\{1, 2, 3, 4\}$ и $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

Пересечением являются числа $1, 2, 3, 4$.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

2) Требуется найти натуральные числа $\text{x}$, для которых одновременно верны неравенства $|9 - x| \le 12$ и $|x| < 5$.

Решим первое неравенство: $|9 - x| \le 12$.

Так как $|9 - x| = |x - 9|$, неравенство можно записать как $|x - 9| \le 12$.

Это равносильно $-12 \le x - 9 \le 12$.

Прибавим 9 ко всем частям: $-12 + 9 \le x \le 12 + 9$, что дает $-3 \le x \le 21$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: от 1 до 21 включительно.

Решим второе неравенство: $|x| < 5$.

Так как $\text{x}$ - натуральное число, $|x| = x$.

Неравенство принимает вид $x < 5$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4$.

Найдем пересечение множеств решений: $\{1, 2, ..., 21\} \cap \{1, 2, 3, 4\}$.

Пересечением являются числа $1, 2, 3, 4$.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

3) Требуется найти натуральные числа $\text{x}$, для которых одновременно верны неравенства $|x + 7| > 11$ и $|x| \le 7$.

Решим первое неравенство: $|x + 7| > 11$.

Поскольку $\text{x}$ - натуральное число, то $x > 0$, а значит, выражение $x + 7$ всегда положительно.

Следовательно, $|x + 7| = x + 7$.

Неравенство принимает вид $x + 7 > 11$.

Вычтем 7 из обеих частей: $x > 4$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $5, 6, 7, 8, ...$

Решим второе неравенство: $|x| \le 7$.

Так как $\text{x}$ - натуральное число, $|x| = x$.

Неравенство принимает вид $x \le 7$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Найдем пересечение множеств решений: $\{5, 6, 7, 8, ...\} \cap \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Пересечением являются числа $5, 6, 7$.

Ответ: 5, 6, 7.

4) Требуется найти натуральные числа $\text{x}$, для которых одновременно верны неравенства $|x| \ge 1$ и $|x - 3| < 3$.

Решим первое неравенство: $|x| \ge 1$.

Так как $\text{x}$ - натуральное число ($x \in \{1, 2, 3, ...\}$), то $|x| = x$, и неравенство $x \ge 1$ верно для любого натурального числа.

Решим второе неравенство: $|x - 3| < 3$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству: $-3 < x - 3 < 3$.

Прибавим 3 ко всем частям: $-3 + 3 < x < 3 + 3$, что дает $0 < x < 6$.

Натуральные числа, удовлетворяющие этому условию: $1, 2, 3, 4, 5$.

Найдем пересечение множеств решений: все натуральные числа и множество $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Пересечением являются числа $1, 2, 3, 4, 5$.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.