номер 1080, страница 79, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1080. 1. Найдите наименьшее целое число, которое является решением системы неравенств:

1) $\begin{cases} 7x - 21 > 9x - 25, \\ |x| \le 3, \\ -5 < x - 2 < 3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| < 10, \\ |x| \ge 2, \\ 23 - x \le 2x + 53. \end{cases}$

2. Найдите наибольшее целое число, которое является решением системы неравенств:

1) $\begin{cases} x - 16,5 \le 2x - 9,5, \\ |x| < 8, \\ -11 \le 3 - x \le 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| \ge 6, \\ |x| < 9, \\ 33 + 2x \ge 3x + 40. \end{cases}$

1. 1) Рассматриваем систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x - 21 > 9x - 25 \\ |x| \le 3 \\ -5 < x - 2 < 3 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $7x - 21 > 9x - 25$. Перенесем слагаемые: $25 - 21 > 9x - 7x$, что дает $4 > 2x$, или $x < 2$.

2) $|x| \le 3$. Это неравенство эквивалентно $-3 \le x \le 3$.

3) $-5 < x - 2 < 3$. Прибавим 2 ко всем частям: $-5 + 2 < x < 3 + 2$, что дает $-3 < x < 5$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in (-\infty, 2)$, $x \in [-3, 3]$ и $x \in (-3, 5)$.

Пересечением этих множеств является интервал $x \in (-3, 2)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -2, -1, 0, 1.

Наименьшим целым решением является -2.

Ответ: -2

2) Рассматриваем систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| < 10 \\ |x| \ge 2 \\ 23 - x \le 2x + 53 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $|x| < 10$. Это неравенство эквивалентно $-10 < x < 10$.

2) $|x| \ge 2$. Это неравенство эквивалентно совокупности $x \le -2$ или $x \ge 2$.

3) $23 - x \le 2x + 53$. Перенесем слагаемые: $23 - 53 \le 2x + x$, что дает $-30 \le 3x$, или $x \ge -10$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in (-10, 10)$, $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и $x \in [-10, \infty)$.

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $x \in (-10, -2] \cup [2, 10)$.

Наименьшим целым числом в этом множестве решений является -9.

Ответ: -9

2. 1) Рассматриваем систему неравенств:

$ \begin{cases} x - 16,5 \le 2x - 9,5 \\ |x| < 8 \\ -11 \le 3 - x \le 7 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x - 16,5 \le 2x - 9,5$. Перенесем слагаемые: $-16,5 + 9,5 \le 2x - x$, что дает $-7 \le x$.

2) $|x| < 8$. Это неравенство эквивалентно $-8 < x < 8$.

3) $-11 \le 3 - x \le 7$. Вычтем 3 из всех частей: $-11 - 3 \le -x \le 7 - 3$, что дает $-14 \le -x \le 4$. Умножим на -1, изменив знаки неравенства: $14 \ge x \ge -4$, или $-4 \le x \le 14$.

Найдем пересечение множеств решений: $x \in [-7, \infty)$, $x \in (-8, 8)$ и $x \in [-4, 14]$.

Пересечением этих множеств является интервал $x \in [-4, 8)$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Наибольшим целым решением является 7.

Ответ: 7

2) Рассматриваем систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \ge 6 \\ |x| < 9 \\ 33 + 2x \ge 3x + 40 \end{cases} $

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $|x| \ge 6$. Это неравенство эквивалентно совокупности $x \le -6$ или $x \ge 6$.

2) $|x| < 9$. Это неравенство эквивалентно $-9 < x < 9$.

3) $33 + 2x \ge 3x + 40$. Перенесем слагаемые: $33 - 40 \ge 3x - 2x$, что дает $-7 \ge x$, или $x \le -7$.

Найдем пересечение множеств решений. Из первых двух неравенств, $|x| \ge 6$ и $|x| < 9$, следует, что $x \in (-9, -6] \cup [6, 9)$.

Теперь учтем третье неравенство $x \le -7$. Пересекая $x \in (-9, -6] \cup [6, 9)$ с $x \le -7$, получаем $x \in (-9, -7]$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -8, -7.

Наибольшим целым решением является -7.

Ответ: -7