номер 1075, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1075. Укажите отрицательное значение переменной $\text{x}$, при котором верно неравенство:

1) $|x - 15| \le 15 - x;$

2) $|7 + x| \le x + 19;$

3) $|8 - x| \ge x - 14;$

4) $|x + 10| < x + 10.$

1) Решим неравенство $|x - 15| \leq 15 - x$.

Данное неравенство имеет вид $|A| \leq -A$, где $A = x - 15$.

По определению, абсолютное значение (модуль) числа $|A|$ всегда неотрицательно. Неравенство $|A| \leq -A$ может быть верным только в случае, если правая часть $-A$ также неотрицательна, то есть $-A \geq 0$, что эквивалентно $A \leq 0$.

Если $A \leq 0$, то по определению модуля $|A| = -A$. В этом случае неравенство принимает вид $-A \leq -A$, что является верным тождеством.

Таким образом, исходное неравенство $|x - 15| \leq 15 - x$ равносильно условию $x - 15 \leq 0$.

Решим это простое неравенство:

$x \leq 15$.

Множеством решений является промежуток $(-\infty; 15]$.

Требуется указать любое отрицательное значение $\text{x}$, удовлетворяющее этому условию. Например, $x = -1$. Проверим: $|-1 - 15| = |-16| = 16$. $15 - (-1) = 16$. Неравенство $16 \leq 16$ верно.

Ответ: любое отрицательное число, например, $x = -1$.

2) Решим неравенство $|7 + x| \leq x + 19$.

Это неравенство вида $|A| \leq B$ равносильно двойному неравенству $-B \leq A \leq B$.

$-(x + 19) \leq 7 + x \leq x + 19$.

Это можно представить в виде системы из двух неравенств:

$\begin{cases} 7 + x \leq x + 19 \\ -(x + 19) \leq 7 + x \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$7 + x \leq x + 19$

$7 \leq 19$.

Это неравенство верно для любого значения $\text{x}$.

Решим второе неравенство системы:

$-(x + 19) \leq 7 + x$

$-x - 19 \leq 7 + x$

$-19 - 7 \leq x + x$

$-26 \leq 2x$

$x \geq -13$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств, то есть $x \geq -13$.

Множеством решений является промежуток $[-13; +\infty)$.

Требуется указать отрицательное значение $\text{x}$ из этого промежутка. Отрицательные числа, удовлетворяющие этому условию, лежат в промежутке $[-13; 0)$. Например, $x = -5$.

Ответ: любое число из промежутка $[-13; 0)$, например, $x = -5$.

3) Решим неравенство $|8 - x| \geq x - 14$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Если правая часть неравенства отрицательна, то есть $x - 14 < 0$ ($x < 14$), то неравенство всегда верно, так как модуль в левой части всегда неотрицателен, а любое неотрицательное число больше любого отрицательного.

Случай 2: Если правая часть неравенства неотрицательна, то есть $x - 14 \geq 0$ ($x \geq 14$), то обе части неравенства неотрицательны, и можно возвести их в квадрат:

$(8 - x)^2 \geq (x - 14)^2$

$64 - 16x + x^2 \geq x^2 - 28x + 196$

$64 - 16x \geq -28x + 196$

$28x - 16x \geq 196 - 64$

$12x \geq 132$

$x \geq 11$.

Учитывая условие этого случая ($x \geq 14$), получаем, что все $x \geq 14$ являются решениями.

Объединяя решения из обоих случаев ($x < 14$ и $x \geq 14$), получаем, что неравенство верно для любого действительного числа $\text{x}$.

Множеством решений является вся числовая прямая $(-\infty; +\infty)$.

Требуется указать любое отрицательное значение $\text{x}$. Любое отрицательное число является решением. Например, $x = -10$.

Ответ: любое отрицательное число, например, $x = -10$.

4) Решим неравенство $|x + 10| < x + 10$.

Пусть $A = x + 10$. Тогда неравенство имеет вид $|A| < A$.

По определению модуля, $|A| \geq A$ для любого действительного числа $\text{A}$. Равенство $|A| = A$ достигается при $A \geq 0$, а при $A < 0$ имеем $|A| = -A$, и $-A > A$ (так как $-A$ положительно, а $\text{A}$ отрицательно).

Таким образом, строгое неравенство $|A| < A$ не может выполняться ни при каких значениях $\text{A}$.

Следовательно, неравенство $|x + 10| < x + 10$ не имеет решений.

Ответ: не существует таких значений $\text{x}$.