номер 1070, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (1069–1071):

1070.

1) $|3x + 5| \ge 20;$

2) $|7 - 4x| \le 11;$

3) $|4 + 3x| \le 5.$

1) $|3x + 5| \ge 20$

Неравенство с модулем вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Применяя это правило, получаем:

$3x + 5 \ge 20$ или $3x + 5 \le -20$

Решим первое неравенство:

$3x \ge 20 - 5$

$3x \ge 15$

$x \ge \frac{15}{3}$

$x \ge 5$

Решим второе неравенство:

$3x \le -20 - 5$

$3x \le -25$

$x \le -\frac{25}{3}$

Объединяя решения, получаем итоговый ответ в виде объединения двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{25}{3}] \cup [5; +\infty)$

2) $|7 - 4x| \le 11$

Неравенство с модулем вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применяя это правило, получаем:

$-11 \le 7 - 4x \le 11$

Вычтем 7 из всех частей двойного неравенства:

$-11 - 7 \le -4x \le 11 - 7$

$-18 \le -4x \le 4$

Разделим все части на -4. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-18}{-4} \ge x \ge \frac{4}{-4}$

$\frac{9}{2} \ge x \ge -1$

Запишем решение в виде промежутка, расположив числа в порядке возрастания:

$-1 \le x \le \frac{9}{2}$

Ответ: $x \in [-1; \frac{9}{2}]$

3) $|4 + 3x| \le 5$

Данное неравенство также имеет вид $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) и равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

$-5 \le 4 + 3x \le 5$

Вычтем 4 из всех частей двойного неравенства:

$-5 - 4 \le 3x \le 5 - 4$

$-9 \le 3x \le 1$

Разделим все части на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{-9}{3} \le x \le \frac{1}{3}$

$-3 \le x \le \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in [-3; \frac{1}{3}]$