номер 1067, страница 77, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1067. Изобразите на координатной прямой решение неравенства:

1) $|x + 3| < 7;$

2) $|5 - x| \le 9;$

3) $|11 + x| \ge 1;$

4) $|1,5 - x| > 8;$

5) $|x + 9,3| \le 10,3;$

6) $|12,1 - x| \ge 1,1.$

1) Неравенство $|x + 3| < 7$ является неравенством вида $|f(x)| < a$, где $a > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применяя это правило, получаем:

$-7 < x + 3 < 7$

Вычтем 3 из всех частей неравенства, чтобы выделить $\text{x}$:

$-7 - 3 < x < 7 - 3$

$-10 < x < 4$

Решением является открытый интервал $(-10; 4)$. На координатной прямой это изображается в виде интервала между точками -10 и 4. Точки -10 и 4 являются "выколотыми" (обозначаются пустыми кружками), так как неравенство строгое, и они не входят в решение. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: $x \in (-10; 4)$

2) Неравенство $|5 - x| \le 9$ является неравенством вида $|f(x)| \le a$, где $a > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применяя это правило, получаем:

$-9 \le 5 - x \le 9$

Вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-9 - 5 \le -x \le 9 - 5$

$-14 \le -x \le 4$

Умножим все части на -1 и изменим знаки неравенства на противоположные:

$14 \ge x \ge -4$

Что эквивалентно записи: $-4 \le x \le 14$

Решением является замкнутый отрезок $[-4; 14]$. На координатной прямой это изображается в виде отрезка между точками -4 и 14. Точки -4 и 14 являются "закрашенными" (обозначаются сплошными кружками), так как неравенство нестрогое, и они входят в решение. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: $x \in [-4; 14]$

3) Неравенство $|11 + x| \ge 1$ является неравенством вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$11 + x \ge 1$ или $11 + x \le -1$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $11 + x \ge 1 \implies x \ge 1 - 11 \implies x \ge -10$

2) $11 + x \le -1 \implies x \le -1 - 11 \implies x \le -12$

Решением является объединение двух промежутков: $(-\infty; -12]$ и $[-10; +\infty)$. На координатной прямой это изображается в виде двух лучей. Один луч начинается в точке -12 и идет влево (в сторону $-\infty$), а второй луч начинается в точке -10 и идет вправо (в сторону $+\infty$). Точки -12 и -10 являются "закрашенными", так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty; -12] \cup [-10; +\infty)$

4) Неравенство $|1,5 - x| > 8$ является неравенством вида $|f(x)| > a$, где $a > 0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Получаем совокупность:

$1,5 - x > 8$ или $1,5 - x < -8$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $1,5 - x > 8 \implies -x > 8 - 1,5 \implies -x > 6,5 \implies x < -6,5$

2) $1,5 - x < -8 \implies -x < -8 - 1,5 \implies -x < -9,5 \implies x > 9,5$

Решением является объединение двух интервалов: $(-\infty; -6,5)$ и $(9,5; +\infty)$. На координатной прямой это изображается в виде двух лучей. Один луч идет влево от точки -6,5, а второй луч идет вправо от точки 9,5. Точки -6,5 и 9,5 являются "выколотыми", так как неравенство строгое.

Ответ: $x \in (-\infty; -6,5) \cup (9,5; +\infty)$

5) Неравенство $|x + 9,3| \le 10,3$ является неравенством вида $|f(x)| \le a$, где $a > 0$. Оно равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применяя это правило, получаем:

$-10,3 \le x + 9,3 \le 10,3$

Вычтем 9,3 из всех частей неравенства:

$-10,3 - 9,3 \le x \le 10,3 - 9,3$

$-19,6 \le x \le 1$

Решением является замкнутый отрезок $[-19,6; 1]$. На координатной прямой это изображается в виде отрезка между точками -19,6 и 1. Точки -19,6 и 1 являются "закрашенными", так как неравенство нестрогое. Область между этими точками заштриховывается.

Ответ: $x \in [-19,6; 1]$

6) Неравенство $|12,1 - x| \ge 1,1$ является неравенством вида $|f(x)| \ge a$, где $a > 0$. Оно равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

Получаем совокупность:

$12,1 - x \ge 1,1$ или $12,1 - x \le -1,1$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $12,1 - x \ge 1,1 \implies -x \ge 1,1 - 12,1 \implies -x \ge -11 \implies x \le 11$

2) $12,1 - x \le -1,1 \implies -x \le -1,1 - 12,1 \implies -x \le -13,2 \implies x \ge 13,2$

Решением является объединение двух промежутков: $(-\infty; 11]$ и $[13,2; +\infty)$. На координатной прямой это изображается в виде двух лучей. Один луч начинается в точке 11 и идет влево, а второй луч начинается в точке 13,2 и идет вправо. Точки 11 и 13,2 являются "закрашенными", так как неравенство нестрогое.

Ответ: $x \in (-\infty; 11] \cup [13,2; +\infty)$