номер 1079, страница 79, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1079. Найдите значение суммы всех целых чисел, которые являются решениями системы неравенств:

1) $ \begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3 \end{cases} $

Первое неравенство $|x| < 4$ эквивалентно двойному неравенству $-4 < x < 4$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Второе неравенство $|x| \ge 1$ эквивалентно совокупности $x \ge 1$ или $x \le -1$. Из целых решений первого неравенства это условие исключает только 0. Таким образом, общими решениями первых двух неравенств являются целые числа: -3, -2, -1, 1, 2, 3.

Третье неравенство $x > -3$. Из полученного набора чисел $\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$ нужно выбрать те, которые больше -3. Это числа: -2, -1, 1, 2, 3.

Таким образом, целыми решениями системы являются числа: -2, -1, 1, 2, 3.

Найдем их сумму: $-2 + (-1) + 1 + 2 + 3 = 3$.

Ответ: 3.

2) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2 \end{cases} $

Объединим второе и третье неравенства: $x > -7$ и $x \le 2$ дают двойное неравенство $-7 < x \le 2$.

Первое неравенство $|x| \le 10$ эквивалентно $-10 \le x \le 10$.

Решением системы является пересечение множеств решений, то есть нужно найти все $\text{x}$, удовлетворяющие одновременно условиям $-7 < x \le 2$ и $-10 \le x \le 10$. Таким пересечением является интервал $-7 < x \le 2$.

Целые числа, которые принадлежат этому интервалу: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Найдем их сумму: $-6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -18$.

Ответ: -18.

3) Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5 \end{cases} $

Неравенство $|x| \le 5$ эквивалентно $-5 \le x \le 5$.

Неравенство $|x| > 3$ эквивалентно совокупности $x > 3$ или $x < -3$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $\text{x}$ должен принадлежать одному из промежутков: $[-5, -3)$ или $(3, 5]$. Целые числа из этих промежутков: -5, -4, 4, 5.

Теперь учтем третье неравенство $x \le 4$. Из полученного набора чисел $\{-5, -4, 4, 5\}$ нужно выбрать те, что не превосходят 4. Это числа: -5, -4, 4.

Таким образом, целыми решениями системы являются числа: -5, -4, 4.

Найдем их сумму: $-5 + (-4) + 4 = -5$.

Ответ: -5.