номер 1120, страница 94, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1120. Постройте на координатной плоскости четырехугольник ABCD, если $A(-10; -2)$; $B(-2; -2)$; $C(-2; -6)$; $D(-10; -6)$. Является ли он прямоугольником, квадратом? Найдите периметр и площадь этого четырехугольника, если длина единичного отрезка равна 1 см. Проведите отрезки $AC$ и $BD$, найдите координаты точки $\text{E}$ — пересечения отрезков $AC$ и $BD$.

1. Построение и определение вида четырехугольника ABCD

Построим четырехугольник, соединив последовательно точки с заданными координатами: A(-10; -2), B(-2; -2), C(-2; -6), D(-10; -6).

Найдем длины сторон четырехугольника, используя формулу расстояния между двумя точками. Так как стороны параллельны осям координат, можно просто найти разницу соответствующих координат.

Длина стороны AB: точки A и B имеют одинаковую ординату $y = -2$, значит, сторона AB параллельна оси Ox. Ее длина равна модулю разности абсцисс:

$|AB| = |x_B - x_A| = |-2 - (-10)| = |-2 + 10| = 8$ см.

Длина стороны BC: точки B и C имеют одинаковую абсциссу $x = -2$, значит, сторона BC параллельна оси Oy. Ее длина равна модулю разности ординат:

$|BC| = |y_C - y_B| = |-6 - (-2)| = |-6 + 2| = |-4| = 4$ см.

Длина стороны CD: точки C и D имеют одинаковую ординату $y = -6$, значит, сторона CD параллельна оси Ox. Ее длина равна модулю разности абсцисс:

$|CD| = |x_D - x_C| = |-10 - (-2)| = |-10 + 2| = |-8| = 8$ см.

Длина стороны DA: точки D и A имеют одинаковую абсциссу $x = -10$, значит, сторона DA параллельна оси Oy. Ее длина равна модулю разности ординат:

$|DA| = |y_A - y_D| = |-2 - (-6)| = |-2 + 6| = |4| = 4$ см.

Мы видим, что противоположные стороны попарно равны: $|AB| = |CD| = 8$ см и $|BC| = |DA| = 4$ см.

Также сторона AB параллельна оси Ox, а сторона BC параллельна оси Oy. Следовательно, угол $\angle B$ между ними прямой ($90^\circ$). Так как противоположные стороны параллельны и равны, и один из углов прямой, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Чтобы быть квадратом, все стороны должны быть равны. Так как $|AB| \neq |BC|$ ($8 \neq 4$), этот четырехугольник не является квадратом.

Ответ: Четырехугольник ABCD является прямоугольником, но не является квадратом.

2. Нахождение периметра и площади

Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$, где $\text{a}$ и $\text{b}$ - длины смежных сторон.

$P = 2(|AB| + |BC|) = 2(8 + 4) = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$.

$S = |AB| \cdot |BC| = 8 \cdot 4 = 32$ см².

Ответ: Периметр равен 24 см, площадь равна 32 см².

3. Нахождение координат точки пересечения диагоналей E

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая является серединой каждой из них. Найдем координаты середины диагонали AC, используя формулу координат середины отрезка: $E(x; y) = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2})$.

Координаты точек A(-10; -2) и C(-2; -6).

$x_E = \frac{-10 + (-2)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$y_E = \frac{-2 + (-6)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Таким образом, точка пересечения диагоналей E имеет координаты (-6; -4). Проверим, используя диагональ BD с точками B(-2; -2) и D(-10; -6):

$x_E = \frac{-2 + (-10)}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

$y_E = \frac{-2 + (-6)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Координаты совпадают.

Ответ: Координаты точки E: (-6; -4).