номер 1121, страница 94, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1121. Постройте ломаные линии ABCDE и MNK по координатам точек $A(-6; 2)$, $B(-4; 6)$, $C(1; 1)$, $D(2; -5)$, $E(8; -1)$, $M(-5; -5)$, $N(-1; 7)$, $K(8; 4)$. Найдите координаты точек пересечения ломаных ABCDE и MNK.

Для решения задачи необходимо построить ломаные линии, соединяя последовательно заданные точки, и затем найти координаты точек, в которых эти линии пересекаются. Нахождение точек пересечения сводится к поиску общих точек для отрезков одной ломаной и отрезков другой ломаной.

Ломаная ABCDE состоит из отрезков AB, BC, CD и DE.

Ломаная MNK состоит из отрезков MN и NK.

Будем последовательно проверять возможность пересечения отрезков первой ломаной с отрезками второй ломаной.

1. Поиск пересечения отрезка BC и отрезка MN

Сначала найдем уравнения прямых, на которых лежат эти отрезки.

Отрезок BC задан точками B(-4; 6) и C(1; 1). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле: $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Для прямой BC: $\frac{x-(-4)}{1-(-4)} = \frac{y-6}{1-6} \Rightarrow \frac{x+4}{5} = \frac{y-6}{-5}$.

Упростим: $-(x+4) = y-6 \Rightarrow -x-4 = y-6 \Rightarrow y = -x+2$.

Отрезок MN задан точками M(-5; -5) и N(-1; 7). Уравнение прямой MN:

$\frac{x-(-5)}{-1-(-5)} = \frac{y-(-5)}{7-(-5)} \Rightarrow \frac{x+5}{4} = \frac{y+5}{12}$.

Упростим: $3(x+5) = y+5 \Rightarrow 3x+15 = y+5 \Rightarrow y = 3x+10$.

Теперь найдем точку пересечения прямых BC и MN, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = -x + 2 \\ y = 3x + 10 \end{cases}$

Приравняем правые части: $-x + 2 = 3x + 10$.

$-8 = 4x \Rightarrow x = -2$.

Подставим найденное значение $\text{x}$ в первое уравнение, чтобы найти $\text{y}$: $y = -(-2) + 2 = 4$.

Точка пересечения прямых — (-2; 4).

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли эта точка обоим отрезкам. Точка принадлежит отрезку, если ее координаты находятся в пределах координат концов отрезка.

Для отрезка BC (B(-4; 6) и C(1; 1)):

Координата $x=-2$ находится в диапазоне $[-4; 1]$, так как $-4 \le -2 \le 1$.

Координата $y=4$ находится в диапазоне $[1; 6]$, так как $1 \le 4 \le 6$.

Следовательно, точка (-2; 4) лежит на отрезке BC.

Для отрезка MN (M(-5; -5) и N(-1; 7)):

Координата $x=-2$ находится в диапазоне $[-5; -1]$, так как $-5 \le -2 \le -1$.

Координата $y=4$ находится в диапазоне $[-5; 7]$, так как $-5 \le 4 \le 7$.

Следовательно, точка (-2; 4) лежит на отрезке MN.

Так как точка (-2; 4) принадлежит обоим отрезкам, она является точкой пересечения ломаных.

2. Проверка других пар отрезков

При проверке других пар отрезков (например, AB и MN, CD и NK, DE и NK) выясняется, что они не имеют общих точек. Точки пересечения прямых, содержащих эти отрезки, либо не существуют (прямые параллельны), либо лежат за пределами хотя бы одного из отрезков.

Например, для отрезков CD (C(1; 1), D(2; -5)) и NK (N(-1; 7), K(8; 4)) точка пересечения содержащих их прямых имеет координату $x = \frac{1}{17}$. Эта координата не попадает в диапазон по $\text{x}$ для отрезка CD, который равен $[1; 2]$. Следовательно, эти отрезки не пересекаются.

Таким образом, ломаные линии ABCDE и MNK имеют только одну точку пересечения.

Ответ: (-2; 4).