номер 1142, страница 101, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1142.

Изобразите в тетради треугольник $АВС$, у которого $\angle C = 90^\circ$, длина стороны $СВ = 2 \text{ см}$, $АС = 3 \text{ см}$ (рис. 138). Постройте точку $Р$, симметричную точке $В$ относительно оси $\text{l}$, которая содержит сторону $АС$ треугольника $АВС$. Какие точки будут симметричны точкам $А$ и $С$ относительно прямой $\text{l}$? Проведите отрезки $РА$ и $РС$. Сравните длины отрезков $РС$ и $СВ$.

Рис. 138

Сначала изобразим прямоугольный треугольник $ABC$ в соответствии с условиями задачи: $\angle C = 90^\circ$, $CB = 2$ см, $AC = 3$ см. Прямая $\text{l}$, являющаяся осью симметрии, проходит через сторону $AC$.

Построение точки P, симметричной точке B относительно оси l

Чтобы построить точку $\text{P}$, симметричную точке $\text{B}$ относительно прямой $\text{l}$ (которая содержит отрезок $AC$), необходимо выполнить следующие действия:

1. Из точки $\text{B}$ опустить перпендикуляр на прямую $\text{l}$. Поскольку по условию $\angle C = 90^\circ$, отрезок $CB$ уже является перпендикуляром к прямой $AC$ (и, следовательно, к прямой $\text{l}$).
2. Отложить на продолжении этого перпендикуляра за точку $\text{C}$ отрезок $CP$, равный по длине отрезку $CB$.

Так как $CB = 2$ см, то и $CP$ должен быть равен 2 см. Точка $\text{P}$ будет лежать на прямой, проходящей через $\text{C}$ и $\text{B}$, по другую сторону от прямой $\text{l}$.

Симметрия точек A и C относительно прямой l

По определению осевой симметрии, если точка лежит на оси симметрии, то она симметрична самой себе.

Прямая $\text{l}$ содержит сторону $AC$. Это означает, что и точка $\text{A}$, и точка $\text{C}$ лежат на оси симметрии $\text{l}$.

Следовательно, точка, симметричная точке $\text{A}$ относительно прямой $\text{l}$, — это сама точка $\text{A}$. Аналогично, точка, симметричная точке $\text{C}$ относительно прямой $\text{l}$, — это сама точка $\text{C}$.

Ответ: точка, симметричная точке $\text{A}$ относительно прямой $\text{l}$, это точка $\text{A}$; точка, симметричная точке $\text{C}$ относительно прямой $\text{l}$, это точка $\text{C}$.

Проведение отрезков PA и PC и сравнение длин отрезков PC и CB

Проведем отрезки $PA$ и $PC$. Получим треугольник $APC$.

Теперь сравним длины отрезков $PC$ и $CB$.

Как было определено при построении, точка $\text{P}$ является симметричным образом точки $\text{B}$ относительно прямой $\text{l}$. Это означает, что расстояние от точки $\text{P}$ до прямой $\text{l}$ равно расстоянию от точки $\text{B}$ до прямой $\text{l}$.

Расстояние от точки $\text{B}$ до прямой $\text{l}$ (прямой $AC$) — это длина перпендикуляра $CB$. По условию $CB = 2$ см.

Расстояние от точки $\text{P}$ до прямой $\text{l}$ — это длина перпендикуляра $PC$.

Из определения симметрии следует, что $PC = CB$.

Так как $CB = 2$ см, то и $PC = 2$ см.

Ответ: длины отрезков $PC$ и $CB$ равны. $PC = CB = 2$ см.