номер 1283, страница 159, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы уравнений (1279—1283):

1283.

1)

$\begin{cases} 1,5(x + 2y) - 4(y - 3x) - 13,5 = 0, \\ 2(y - 3x) + 2,5(x + 2y) + 3,5 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 4,5(x - 4y) + 3(y + 3x) + 1,5 = 0, \\ 5(x + 2y) - 3,5(y - 2x) - 18,5 = 0. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 1,5(x + 2y) - 4(y - 3x) - 13,5 = 0, \\ 2(y - 3x) + 2,5(x + 2y) + 3,5 = 0; \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$1,5x + 3y - 4y + 12x - 13,5 = 0$

$(1,5x + 12x) + (3y - 4y) = 13,5$

$13,5x - y = 13,5$

Второе уравнение:

$2y - 6x + 2,5x + 5y + 3,5 = 0$

$(-6x + 2,5x) + (2y + 5y) = -3,5$

$-3,5x + 7y = -3,5$

Разделим обе части второго уравнения на $-3,5$:

$x - 2y = 1$

Получаем эквивалентную, более простую систему:

$\begin{cases} 13,5x - y = 13,5, \\ x - 2y = 1. \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $\text{x}$ через $\text{y}$:

$x = 1 + 2y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$13,5(1 + 2y) - y = 13,5$

$13,5 + 27y - y = 13,5$

$26y = 13,5 - 13,5$

$26y = 0$

$y = 0$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив значение $y=0$ в выражение для $\text{x}$:

$x = 1 + 2 \cdot 0$

$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=0$.

Ответ: $(1; 0)$.

2) Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 4,5(x - 4y) + 3(y + 3x) + 1,5 = 0, \\ 5(x + 2y) - 3,5(y - 2x) - 18,5 = 0. \end{cases}$

Упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$4,5x - 18y + 3y + 9x + 1,5 = 0$

$(4,5x + 9x) + (-18y + 3y) = -1,5$

$13,5x - 15y = -1,5$

Разделим обе части уравнения на $1,5$ для упрощения:

$9x - 10y = -1$

Второе уравнение:

$5x + 10y - 3,5y + 7x - 18,5 = 0$

$(5x + 7x) + (10y - 3,5y) = 18,5$

$12x + 6,5y = 18,5$

Умножим обе части уравнения на $\text{2}$, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$24x + 13y = 37$

Теперь решаем полученную систему:

$\begin{cases} 9x - 10y = -1, \\ 24x + 13y = 37. \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на $\text{8}$, а второе на $-3$, чтобы коэффициенты при $\text{x}$ стали равными по модулю и противоположными по знаку:

$\begin{cases} 8 \cdot (9x - 10y) = 8 \cdot (-1), \\ -3 \cdot (24x + 13y) = -3 \cdot 37. \end{cases} \implies \begin{cases} 72x - 80y = -8, \\ -72x - 39y = -111. \end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(72x - 80y) + (-72x - 39y) = -8 + (-111)$

$-119y = -119$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое упрощенное уравнение $9x - 10y = -1$:

$9x - 10(1) = -1$

$9x - 10 = -1$

$9x = 9$

$x = 1$

Таким образом, решение системы: $x=1, y=1$.

Ответ: $(1; 1)$.