номер 1285, страница 159, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите решение систем уравнений (1284—1286):

1285.

1) $\begin{cases} \frac{4x-3}{2} + \frac{5y+1}{3} = 12,5, \\ 1,5x - 0,7y = -3,4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2,3x - 1,9y = 0,8, \\ \frac{4-3y}{4} + \frac{-5x-2}{3} = -4,5. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} \frac{4x-3}{2} + \frac{5y+1}{3} = 12,5 \\ 1,5x - 0,7y = -3,4 \end{cases} $$ Для начала упростим оба уравнения системы.

Первое уравнение: умножим обе части на 6 (наименьшее общее кратное для 2 и 3), чтобы избавиться от знаменателей.

$6 \cdot \left(\frac{4x-3}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{5y+1}{3}\right) = 6 \cdot 12,5$

$3(4x-3) + 2(5y+1) = 75$

$12x - 9 + 10y + 2 = 75$

$12x + 10y - 7 = 75$

$12x + 10y = 82$

Разделим обе части уравнения на 2:

$6x + 5y = 41$

Второе уравнение: умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей.

$10 \cdot (1,5x - 0,7y) = 10 \cdot (-3,4)$

$15x - 7y = -34$

Теперь наша система имеет вид: $$ \begin{cases} 6x + 5y = 41 \\ 15x - 7y = -34 \end{cases} $$ Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали противоположными.

$7 \cdot (6x + 5y) = 7 \cdot 41 \implies 42x + 35y = 287$

$5 \cdot (15x - 7y) = 5 \cdot (-34) \implies 75x - 35y = -170$

Получим систему: $$ \begin{cases} 42x + 35y = 287 \\ 75x - 35y = -170 \end{cases} $$ Сложим уравнения:

$(42x + 75x) + (35y - 35y) = 287 - 170$

$117x = 117$

$x = 1$

Подставим найденное значение $\text{x}$ в уравнение $6x + 5y = 41$:

$6(1) + 5y = 41$

$6 + 5y = 41$

$5y = 41 - 6$

$5y = 35$

$y = 7$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 7)$.

Ответ: $(1; 7)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2,3x - 1,9y = 0,8 \\ \frac{4-3y}{4} + \frac{-5x-2}{3} = -4,5 \end{cases} $$ Упростим оба уравнения.

Первое уравнение: умножим обе части на 10.

$23x - 19y = 8$

Второе уравнение: умножим обе части на 12 (наименьшее общее кратное для 4 и 3).

$12 \cdot \left(\frac{4-3y}{4}\right) + 12 \cdot \left(\frac{-5x-2}{3}\right) = 12 \cdot (-4,5)$

$3(4-3y) + 4(-5x-2) = -54$

$12 - 9y - 20x - 8 = -54$

$-20x - 9y + 4 = -54$

$-20x - 9y = -58$

Умножим обе части на -1:

$20x + 9y = 58$

Теперь система имеет вид: $$ \begin{cases} 23x - 19y = 8 \\ 20x + 9y = 58 \end{cases} $$ Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 9, а второе на 19.

$9 \cdot (23x - 19y) = 9 \cdot 8 \implies 207x - 171y = 72$

$19 \cdot (20x + 9y) = 19 \cdot 58 \implies 380x + 171y = 1102$

Получим систему: $$ \begin{cases} 207x - 171y = 72 \\ 380x + 171y = 1102 \end{cases} $$ Сложим уравнения:

$(207x + 380x) + (-171y + 171y) = 72 + 1102$

$587x = 1174$

$x = \frac{1174}{587}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $\text{x}$ в уравнение $20x + 9y = 58$:

$20(2) + 9y = 58$

$40 + 9y = 58$

$9y = 58 - 40$

$9y = 18$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 2)$.

Ответ: $(2; 2)$.