номер 1284, страница 159, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите решение систем уравнений (1284—1286):

1284. 1)

$ \begin{cases} (x - 4)y + 13 = x(y - 3) + 15 - 2(x - 4), \\ (x + 5) + xy = 8x - 9 + y(x + 5); \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} 25 - 4(x + 7) = x(1 + y) - 4 - y(x + 7), \\ y(6 - x) + 18 = x(2 - y) + 24. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} (x - 4)y + 13 = x(y - 3) + 15 - 2(x - 4) \\ (x + 5) + xy = 8x - 9 + y(x + 5) \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение системы, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Первое уравнение:

$(x - 4)y + 13 = x(y - 3) + 15 - 2(x - 4)$

$xy - 4y + 13 = xy - 3x + 15 - 2x + 8$

Сократим $xy$ в обеих частях уравнения:

$-4y + 13 = -5x + 23$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а константы — в правую:

$5x - 4y = 23 - 13$

$5x - 4y = 10$

Второе уравнение:

$(x + 5) + xy = 8x - 9 + y(x + 5)$

$x + 5 + xy = 8x - 9 + xy + 5y$

Сократим $xy$ в обеих частях уравнения:

$x + 5 = 8x - 9 + 5y$

Перенесем слагаемые с переменными в правую часть, а константы — в левую:

$5 + 9 = 8x - x + 5y$

$14 = 7x + 5y$ или $7x + 5y = 14$

Теперь мы имеем упрощенную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 10 \\ 7x + 5y = 14 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 4:

$\begin{cases} 5(5x - 4y) = 5 \cdot 10 \\ 4(7x + 5y) = 4 \cdot 14 \end{cases} \implies \begin{cases} 25x - 20y = 50 \\ 28x + 20y = 56 \end{cases}$

Сложим два новых уравнения:

$(25x - 20y) + (28x + 20y) = 50 + 56$

$53x = 106$

$x = \frac{106}{53} = 2$

Подставим значение $x = 2$ в первое упрощенное уравнение $5x - 4y = 10$:

$5(2) - 4y = 10$

$10 - 4y = 10$

$-4y = 0$

$y = 0$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 25 - 4(x + 7) = x(1 + y) - 4 - y(x + 7) \\ y(6 - x) + 18 = x(2 - y) + 24 \end{cases}$

Упростим каждое уравнение.

Первое уравнение:

$25 - 4(x + 7) = x(1 + y) - 4 - y(x + 7)$

$25 - 4x - 28 = x + xy - 4 - xy - 7y$

Сократим $xy$ и $-xy$ в правой части:

$-4x - 3 = x - 4 - 7y$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы — в другую:

$4 - 3 = x + 4x - 7y$

$1 = 5x - 7y$ или $5x - 7y = 1$

Второе уравнение:

$y(6 - x) + 18 = x(2 - y) + 24$

$6y - xy + 18 = 2x - xy + 24$

Сократим $-xy$ в обеих частях:

$6y + 18 = 2x + 24$

Перенесем переменные в одну сторону, а константы — в другую:

$18 - 24 = 2x - 6y$

$-6 = 2x - 6y$

Разделим обе части уравнения на 2:

$-3 = x - 3y$ или $x - 3y = -3$

Мы получили следующую систему:

$\begin{cases} 5x - 7y = 1 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $\text{x}$:

$x = 3y - 3$

Подставим это выражение для $\text{x}$ в первое уравнение:

$5(3y - 3) - 7y = 1$

$15y - 15 - 7y = 1$

$8y - 15 = 1$

$8y = 16$

$y = \frac{16}{8} = 2$

Теперь найдем $\text{x}$, подставив $y = 2$ в выражение для $\text{x}$:

$x = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$

Следовательно, решение системы — пара чисел $(3; 2)$.

Ответ: $(3; 2)$.