номер 649, страница 142, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

649. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $0,(41)$;

2) $6,(02)$;

3) $17,(9)$;

4) $8,(203)$.

1) 0,(41)

Обозначим данное число через $\text{x}$:

$x = 0,(41) = 0,414141...$

Так как в периоде две цифры, умножим обе части равенства на $10^2 = 100$:

$100x = 100 \cdot 0,414141... = 41,414141...$

Вычтем из второго равенства первое, чтобы избавиться от периодической части:

$100x - x = 41,414141... - 0,414141...$

$99x = 41$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = \frac{41}{99}$

Ответ: $\frac{41}{99}$

2) 6,(02)

Представим число как сумму целой части и периодической дроби:

$6,(02) = 6 + 0,(02)$

Обозначим периодическую часть через $\text{y}$:

$y = 0,(02) = 0,020202...$

В периоде две цифры, поэтому умножим обе части на $10^2 = 100$:

$100y = 2,020202...$

Вычтем из нового равенства исходное для $\text{y}$:

$100y - y = 2,020202... - 0,020202...$

$99y = 2$

$y = \frac{2}{99}$

Теперь вернемся к исходному числу:

$6,(02) = 6 + y = 6 + \frac{2}{99} = 6\frac{2}{99}$

Для получения обыкновенной дроби переведем смешанное число в неправильную дробь:

$6\frac{2}{99} = \frac{6 \cdot 99 + 2}{99} = \frac{594 + 2}{99} = \frac{596}{99}$

Ответ: $\frac{596}{99}$

3) 17,(9)

Представим число как сумму целой части и периодической дроби:

$17,(9) = 17 + 0,(9)$

Обозначим периодическую часть через $\text{z}$:

$z = 0,(9) = 0,999...$

В периоде одна цифра, умножим на $10^1 = 10$:

$10z = 9,999...$

Вычтем из нового равенства исходное для $\text{z}$:

$10z - z = 9,999... - 0,999...$

$9z = 9$

$z = \frac{9}{9} = 1$

Следовательно, $0,(9) = 1$.

Подставим это значение обратно в исходное выражение:

$17,(9) = 17 + 1 = 18$

Ответ: $18$

4) 8,(203)

Представим число как сумму целой части и периодической дроби:

$8,(203) = 8 + 0,(203)$

Обозначим периодическую часть через $\text{w}$:

$w = 0,(203) = 0,203203...$

В периоде три цифры, поэтому умножим обе части на $10^3 = 1000$:

$1000w = 203,203203...$

Вычтем из нового равенства исходное для $\text{w}$:

$1000w - w = 203,203203... - 0,203203...$

$999w = 203$

$w = \frac{203}{999}$

Теперь вернемся к исходному числу:

$8,(203) = 8 + w = 8 + \frac{203}{999} = 8\frac{203}{999}$

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$8\frac{203}{999} = \frac{8 \cdot 999 + 203}{999} = \frac{7992 + 203}{999} = \frac{8195}{999}$

Ответ: $\frac{8195}{999}$