номер 651, страница 142, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

651. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь:

1) $0,9(4)$;

2) $1,23(12)$;

3) $4,01(11)$;

4) $14,14(303)$.

1) 0,9(4);

Чтобы представить бесконечную периодическую дробь 0,9(4) в виде обыкновенной дроби, обозначим эту дробь переменной $\text{x}$.

Пусть $x = 0,9(4) = 0,9444...$

Умножим уравнение на 10, чтобы часть до периода стала целой: $10x = 9,444...$

Умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую за первый период: $100x = 94,444...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое: $100x - 10x = 94,444... - 9,444...$ $90x = 85$

Отсюда найдем $\text{x}$: $x = \frac{85}{90}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $x = \frac{17}{18}$

Ответ: $\frac{17}{18}$

2) 1,23(12);

Обозначим дробь $1,23(12)$ переменной $\text{x}$.

Пусть $x = 1,23(12) = 1,23121212...$

Умножим уравнение на 100, чтобы перенести запятую к началу периода: $100x = 123,121212...$

Умножим исходное уравнение на 10000, чтобы сдвинуть запятую за первый период (период состоит из 2 цифр): $10000x = 12312,121212...$

Вычтем из второго уравнения первое: $10000x - 100x = 12312,121212... - 123,121212...$ $9900x = 12189$

Отсюда найдем $\text{x}$: $x = \frac{12189}{9900}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+2+1+8+9=21$ делится на 3, и знаменатель $9900$ делится на 3. $x = \frac{12189 \div 3}{9900 \div 3} = \frac{4063}{3300}$

Эту дробь можно представить в виде смешанного числа: $1 \frac{763}{3300}$.

Ответ: $\frac{4063}{3300}$

3) 4,01(11);

Заметим, что $4,01(11) = 4,011111... = 4,01(1)$. Период состоит из одной цифры 1.

Пусть $x = 4,01(1) = 4,0111...$

Умножим уравнение на 100, чтобы перенести запятую к началу периода: $100x = 401,111...$

Умножим исходное уравнение на 1000, чтобы сдвинуть запятую за первый период: $1000x = 4011,111...$

Вычтем из второго уравнения первое: $1000x - 100x = 4011,111... - 401,111...$ $900x = 3610$

Отсюда найдем $\text{x}$: $x = \frac{3610}{900} = \frac{361}{90}$

Так как $361 = 19^2$, а 90 не делится на 19, дробь несократима.

Ответ: $\frac{361}{90}$

4) 14,14(303);

Обозначим дробь $14,14(303)$ переменной $\text{x}$.

Пусть $x = 14,14(303) = 14,14303303...$

Умножим уравнение на 100, чтобы перенести запятую к началу периода: $100x = 1414,303303...$

Период "303" состоит из 3 цифр. Умножим исходное уравнение на $100 \cdot 1000 = 100000$, чтобы сдвинуть запятую за первый период: $100000x = 1414303,303303...$

Вычтем из второго уравнения первое: $100000x - 100x = 1414303,303... - 1414,303...$ $99900x = 1412889$

Отсюда найдем $\text{x}$: $x = \frac{1412889}{99900}$

Сократим дробь. Сумма цифр числителя $1+4+1+2+8+8+9 = 33$ делится на 3, и знаменатель $99900$ делится на 3. $x = \frac{1412889 \div 3}{99900 \div 3} = \frac{470963}{33300}$

Ответ: $\frac{470963}{33300}$