номер 778, страница 173, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

778. Докажите, что не зависит от значения переменной значение выражения:

1) $0,9(-2,5 + 5\frac{2}{3} : 8,5a) - \frac{2}{3} \cdot 4,5(2,5 + 0,2a);$

2) $6,75 \cdot 4\frac{8}{9}(1 - 5b) + 68(1+2b) + 12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} \cdot 0,5b.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $\text{a}$, необходимо упростить его и показать, что все члены, содержащие $\text{a}$, в итоге сокращаются.

Исходное выражение: $0,9(-2,5 + 5\frac{2}{3} : 8,5 \cdot a) - \frac{2}{3} \cdot 4,5(2,5 + 0,2a)$.

В первом слагаемом выражение $5\frac{2}{3} : 8,5 \cdot a$ можно трактовать по-разному. Чтобы доказать утверждение задачи, будем считать, что умножение на $\text{a}$ выполняется после деления, то есть $(5\frac{2}{3} : 8,5) \cdot a$. Упростим это выражение, преобразовав смешанную дробь и десятичные дроби в обыкновенные:

$5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}$

$8,5 = \frac{85}{10} = \frac{17}{2}$

Тогда $5\frac{2}{3} : 8,5 = \frac{17}{3} : \frac{17}{2} = \frac{17}{3} \cdot \frac{2}{17} = \frac{2}{3}$.

Теперь упростим числовой множитель во втором слагаемом:

$\frac{2}{3} \cdot 4,5 = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2} = 3$.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$0,9(-2,5 + \frac{2}{3}a) - 3(2,5 + 0,2a)$.

Теперь раскроем скобки:

$0,9 \cdot (-2,5) + 0,9 \cdot \frac{2}{3}a - 3 \cdot 2,5 - 3 \cdot 0,2a = -2,25 + \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3}a - 7,5 - 0,6a$.

Упростим коэффициент при $\text{a}$: $\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{5} = 0,6$.

Выражение принимает вид:

$-2,25 + 0,6a - 7,5 - 0,6a$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(-2,25 - 7,5) + (0,6a - 0,6a) = -9,75 + 0 = -9,75$.

Поскольку в результате получилось число, не содержащее переменную $\text{a}$, мы доказали, что значение выражения не зависит от $\text{a}$.

Ответ: -9,75.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной $\text{b}$, необходимо упростить его и показать, что все члены, содержащие $\text{b}$, в итоге сокращаются.

Исходное выражение: $6,75 \cdot 4\frac{8}{9}(1 - 5b) + 68(1 + 2b) + 12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} \cdot 0,5b$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности. Для удобства вычислений переведем десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

Упростим первый член $6,75 \cdot 4\frac{8}{9}(1 - 5b)$:

$6,75 = \frac{675}{100} = \frac{27}{4}$ и $4\frac{8}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{44}{9}$.

Найдем произведение коэффициентов: $6,75 \cdot 4\frac{8}{9} = \frac{27}{4} \cdot \frac{44}{9} = \frac{27 \cdot 44}{4 \cdot 9} = 3 \cdot 11 = 33$.

Таким образом, первый член равен: $33(1 - 5b) = 33 - 165b$.

Упростим второй член: $68(1 + 2b) = 68 + 136b$.

Упростим третий член $12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} \cdot 0,5b$. Действия деления и умножения выполняются последовательно слева направо.

$12\frac{3}{7} = \frac{12 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{87}{7}$ и $0,5 = \frac{1}{2}$.

Выполним деление: $12\frac{3}{7} : \frac{3}{14} = \frac{87}{7} : \frac{3}{14} = \frac{87}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{87 \cdot 14}{7 \cdot 3} = 29 \cdot 2 = 58$.

Теперь выполним умножение: $58 \cdot 0,5b = 58 \cdot \frac{1}{2}b = 29b$.

Теперь сложим все упрощенные части выражения:

$(33 - 165b) + (68 + 136b) + 29b$.

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$33 - 165b + 68 + 136b + 29b = (33 + 68) + (-165b + 136b + 29b)$.

Вычислим сумму констант и сумму коэффициентов при $\text{b}$:

$33 + 68 = 101$.

$-165b + 136b + 29b = (-165 + 136 + 29)b = (-165 + 165)b = 0 \cdot b = 0$.

Итоговое значение выражения: $101 + 0 = 101$.

Поскольку в результате получилось число, не содержащее переменную $\text{b}$, мы доказали, что значение выражения не зависит от $\text{b}$.

Ответ: 101.