номер 779, страница 173, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

779. Докажите, что при любом значении переменной натуральным числом является значение выражения:

1) $1\frac{23}{27}(0,36a + \frac{3}{5}) - \frac{1}{3}(2a - \frac{5}{18}) + \frac{43}{54}$;

2) $1\frac{1}{3}(1 - 15b) + 4\frac{2}{3} + 2\frac{36}{37}(6\frac{8}{11}b + 1,85) - 5,5$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом, упростим его. Сначала преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в обыкновенные дроби.

$1\frac{23}{27} = \frac{1 \cdot 27 + 23}{27} = \frac{50}{27}$

$0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$1\frac{23}{27}(0,36a + \frac{3}{5}) - \frac{1}{3}(2a - \frac{5}{18}) + \frac{43}{54} = \frac{50}{27}(\frac{9}{25}a + \frac{3}{5}) - \frac{1}{3}(2a - \frac{5}{18}) + \frac{43}{54}$

Теперь раскроем скобки:

$\frac{50}{27} \cdot \frac{9}{25}a + \frac{50}{27} \cdot \frac{3}{5} - (\frac{1}{3} \cdot 2a - \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{18}) + \frac{43}{54} = \frac{50 \cdot 9}{27 \cdot 25}a + \frac{50 \cdot 3}{27 \cdot 5} - \frac{2}{3}a + \frac{5}{54} + \frac{43}{54}$

Упростим коэффициенты:

$\frac{2 \cdot 25 \cdot 9}{3 \cdot 9 \cdot 25}a + \frac{10 \cdot 5 \cdot 3}{9 \cdot 3 \cdot 5} - \frac{2}{3}a + \frac{5+43}{54} = \frac{2}{3}a + \frac{10}{9} - \frac{2}{3}a + \frac{48}{54}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(\frac{2}{3}a - \frac{2}{3}a) + \frac{10}{9} + \frac{48}{54}$

Члены с переменной a взаимно уничтожаются. Упростим оставшуюся числовую часть. Сократим дробь $\frac{48}{54}$ на 6:

$\frac{48}{54} = \frac{8}{9}$

Получаем:

$0 + \frac{10}{9} + \frac{8}{9} = \frac{10+8}{9} = \frac{18}{9} = 2$

Значение выражения равно 2, что является натуральным числом. Это значение не зависит от переменной a, следовательно, оно будет таким при любом ее значении.

Ответ: 2.

2) Упростим второе выражение. Преобразуем все смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные.

$1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

$4\frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

$2\frac{36}{37} = \frac{2 \cdot 37 + 36}{37} = \frac{74+36}{37} = \frac{110}{37}$

$6\frac{8}{11} = \frac{6 \cdot 11 + 8}{11} = \frac{66+8}{11} = \frac{74}{11}$

$1,85 = \frac{185}{100} = \frac{37}{20}$

$5,5 = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}$

Подставим эти значения в выражение:

$1\frac{1}{3}(1 - 15b) + 4\frac{2}{3} + 2\frac{36}{37}(6\frac{8}{11}b + 1,85) - 5,5 = \frac{4}{3}(1 - 15b) + \frac{14}{3} + \frac{110}{37}(\frac{74}{11}b + \frac{37}{20}) - \frac{11}{2}$

Раскроем скобки:

$\frac{4}{3} \cdot 1 - \frac{4}{3} \cdot 15b + \frac{14}{3} + \frac{110}{37} \cdot \frac{74}{11}b + \frac{110}{37} \cdot \frac{37}{20} - \frac{11}{2}$

Упростим каждое слагаемое:

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 5b + \frac{14}{3} + \frac{10 \cdot 11 \cdot 2 \cdot 37}{37 \cdot 11}b + \frac{110}{20} - \frac{11}{2} = \frac{4}{3} - 20b + \frac{14}{3} + 20b + \frac{11}{2} - \frac{11}{2}$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(-20b + 20b) + (\frac{4}{3} + \frac{14}{3}) + (\frac{11}{2} - \frac{11}{2})$

Члены с переменной b взаимно уничтожаются, так же как и члены $\frac{11}{2}$ и $-\frac{11}{2}$:

$0 + \frac{4+14}{3} + 0 = \frac{18}{3} = 6$

Значение выражения равно 6, что является натуральным числом. Это значение не зависит от переменной b, следовательно, оно будет таким при любом ее значении.

Ответ: 6.