номер 858, страница 21, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Подготовьте сообщение

858. О линейных уравнениях с одним неизвестным (одной переменной). Их умели решать еще в Древнем Вавилоне и Египте более чем 4 тыс. лет назад.

Введение

Линейные уравнения с одним неизвестным являются одним из фундаментальных понятий в алгебре. Это самые простые типы алгебраических уравнений, но их понимание и умение решать — ключ к изучению более сложной математики. Они широко применяются для решения практических задач в науке, инженерии, экономике и повседневной жизни. Удивительно, но основы их решения были заложены еще в глубокой древности.

Что такое линейное уравнение с одним неизвестным?

Линейное уравнение с одним неизвестным (или одной переменной) — это равенство, которое можно привести к виду $ax = b$, где $\text{x}$ — это переменная (неизвестное), а $\text{a}$ и $\text{b}$ — некоторые числа (коэффициенты). Коэффициент $\text{a}$ называется коэффициентом при неизвестном, а $\text{b}$ — свободным членом.

Более общая форма записи такого уравнения: $ax + b = c$. Его всегда можно свести к виду $ax = c - b$.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или доказать, что их нет). Корень уравнения — это такое число, при подстановке которого вместо переменной получается верное числовое равенство.

Историческая справка: как решали уравнения в древности

Как указано в задании, история линейных уравнений насчитывает более 4000 лет.

• Древний Египет (ок. 2000-1600 гг. до н.э.). Египтяне решали задачи, сводящиеся к линейным уравнениям, что подтверждается математическими папирусами, такими как папирус Ринда и Московский математический папирус. Неизвестную величину они называли «аха» или «куча». Основным методом был метод ложного положения. Суть его в том, что для неизвестной величины брали произвольное, удобное для расчетов значение («ложное» решение). Затем полученный результат сравнивали с требуемым в условии задачи и корректировали «ложное» решение для получения правильного ответа.
• Древний Вавилон (ок. 2000-600 гг. до н.э.). Вавилонские математики пошли дальше египтян. Судя по клинописным табличкам, они владели более систематическими методами и решали не только отдельные линейные уравнения, но и их системы. Их методы были ближе к современным алгебраическим преобразованиям, хотя и описывались словесно, без использования символической записи.
• Дальнейшее развитие. Значительный вклад в развитие теории уравнений внесли древнегреческие математики (например, Диофант Александрийский, III в. н.э.), а позже — ученые исламского мира. В частности, персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (IX в.) в своем трактате «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» описал общие методы решения линейных и квадратных уравнений. От слова «аль-джебр» (восполнение, перенос слагаемого из одной части уравнения в другую) и произошло слово «алгебра».

Современные методы решения

Современный подход к решению линейных уравнений основан на использовании тождественных преобразований, которые не меняют корень уравнения. Основные правила:

1. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Алгоритм решения уравнения $ax + b = c$:

1. Перенести слагаемое $\text{b}$ в правую часть уравнения, изменив его знак: $ax = c - b$.
2. Вычислить значение правой части.
3. Если $a \neq 0$, разделить обе части уравнения на коэффициент $\text{a}$: $x = (c - b) / a$.

При решении уравнения вида $ax = b$ возможны три случая:

• Если $a \neq 0$, уравнение имеет единственный корень: $x = b/a$.
• Если $a = 0$ и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно при любом значении $\text{x}$, поэтому уравнение не имеет корней.
• Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $\text{x}$, поэтому корнем уравнения является любое число (уравнение имеет бесконечно много корней).

Примеры решения уравнений

Пример 1. Решить уравнение $5x - 8 = 12$.

Решение:

1. Перенесем свободный член $-8$ из левой части в правую, изменив знак на "+":

   $5x = 12 + 8$

2. Упростим правую часть:

   $5x = 20$

3. Разделим обе части уравнения на коэффициент при $\text{x}$, то есть на 5:

   $x = 20 / 5$

   $x = 4$

Проверка: Подставим найденное значение $x=4$ в исходное уравнение:

$5 \cdot 4 - 8 = 20 - 8 = 12$.

$12 = 12$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: 4

Пример 2. Решить уравнение $3(x - 2) = 2x + 9$.

Решение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения:

   $3x - 6 = 2x + 9$

2. Перенесем все слагаемые с переменной $\text{x}$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Не забываем менять знаки при переносе:

   $3x - 2x = 9 + 6$

3. Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

   $x = 15$

Проверка: Подставим $x=15$ в исходное уравнение:

Левая часть: $3(15 - 2) = 3 \cdot 13 = 39$.

Правая часть: $2 \cdot 15 + 9 = 30 + 9 = 39$.

$39 = 39$. Равенство верное.

Ответ: 15

Заключение

Линейные уравнения с одной переменной, несмотря на свою многотысячелетнюю историю, остаются важнейшим инструментом математики. Простота их структуры и универсальность методов решения позволяют описывать и решать огромное количество задач из самых разных областей человеческой деятельности. Освоение этой темы является первым и очень важным шагом на пути к пониманию более сложных математических концепций.