номер 1, страница 23, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Почему модуль отрицательного числа равен положительному числу?

1. Почему модуль отрицательного числа равен положительному числу?

Чтобы понять, почему модуль отрицательного числа всегда является положительным, можно рассмотреть это понятие с двух точек зрения: геометрической и алгебраической.

Геометрический смысл модуля

В геометрии модуль числа (или его абсолютная величина) — это расстояние от точки, соответствующей этому числу на координатной прямой, до начала координат (точки 0).

• Например, модуль числа 5, который записывается как $|5|$, — это расстояние от точки 5 до точки 0. Это расстояние равно 5.

• Теперь рассмотрим отрицательное число, например, -5. Модуль числа -5, то есть $|-5|$, — это расстояние от точки -5 до точки 0. Это расстояние также равно 5. Расстояние по своей сути не может быть отрицательным; мы не можем пройти "-5 километров". Мы проходим 5 километров, независимо от направления.

Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль "измеряет" расстояние до нуля, а расстояние всегда является неотрицательной величиной (положительной или равной нулю). Поэтому модуль любого ненулевого числа, будь то положительное или отрицательное, всегда положителен.

Алгебраическое определение модуля

В алгебре модуль числа $\text{x}$ определяется с помощью системы:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Давайте подробно разберем вторую часть этого определения, которая относится к отрицательным числам.

• Определение гласит: если число $\text{x}$ отрицательное ($x < 0$), то его модуль равен $-x$.

• На первый взгляд, это может сбить с толку, так как мы видим знак "минус". Однако, если $\text{x}$ само по себе является отрицательным числом, то $-x$ будет его противоположностью, то есть положительным числом.

• Рассмотрим пример: найдем модуль числа -3. Здесь $x = -3$.

• Поскольку $-3 < 0$, мы применяем второе правило: $|x| = -x$.

• Подставляем наше значение: $|-3| = -(-3)$.

• Как известно из правил арифметики, "минус на минус дает плюс". Поэтому $-(-3) = 3$.

• Следовательно, $|-3| = 3$.

Таким образом, знак "минус" в формуле $|x| = -x$ для отрицательных $\text{x}$ выполняет функцию "изменения знака": он берет отрицательное число и превращает его в положительное.

Ответ: Модуль отрицательного числа равен положительному, потому что модуль по определению является расстоянием от числа до нуля на числовой прямой, а расстояние не может быть отрицательным. Алгебраически это выражается правилом, согласно которому для отрицательного числа $\text{x}$ его модуль вычисляется как $-x$, что в результате дает положительное число (например, $|-5| = -(-5) = 5$).