номер 3, страница 23, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Сколько решений имеет уравнение $|x| = a$, где $a > 0$, $a < 0$, $a = 0$?

a > 0

Рассмотрим уравнение $|x| = a$ при условии, что $\text{a}$ — положительное число ($a > 0$). По определению, модуль числа $\text{x}$ (обозначается как $|x|$) — это расстояние от точки, соответствующей числу $\text{x}$, до начала координат на числовой прямой. Модуль всегда является неотрицательной величиной. Если $a > 0$, мы ищем числа $\text{x}$, расстояние от которых до нуля равно $\text{a}$. На числовой прямой существуют две такие точки: одна находится справа от нуля на расстоянии $\text{a}$, а другая — слева от нуля на том же расстоянии. Этими точками являются $x = a$ и $x = -a$. Таким образом, при $a > 0$ уравнение имеет два различных корня. Например, если $a = 5$, то уравнение $|x| = 5$ имеет решения $x = 5$ и $x = -5$.

Ответ: 2 решения.

a < 0

Рассмотрим уравнение $|x| = a$ при условии, что $\text{a}$ — отрицательное число ($a < 0$). Как уже упоминалось, модуль любого действительного числа $\text{x}$ является неотрицательным: $|x| \ge 0$. Правая часть уравнения, $\text{a}$, по условию является отрицательной. Следовательно, мы получаем равенство, в котором неотрицательная величина ($|x|$) приравнивается к отрицательной ($\text{a}$). Такое равенство невозможно ни при каких значениях $\text{x}$. Поэтому при $a < 0$ уравнение не имеет решений. Например, уравнение $|x| = -3$ не имеет решений, так как модуль не может быть равен отрицательному числу.

Ответ: нет решений (0 решений).

a = 0

Рассмотрим уравнение $|x| = a$ при условии, что $a = 0$. Уравнение принимает вид $|x| = 0$. Единственное число, модуль которого равен нулю, — это сам ноль. Это следует из определения модуля: расстояние от точки до нуля равно нулю только в том случае, если эта точка и есть ноль. Таким образом, уравнение $|x| = 0$ имеет только один корень: $x = 0$.

Ответ: 1 решение.