номер 924, страница 38, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

924. Докажите, что если $a > 1,5$ и $b > 10$, то:

1) $6a + 5b > 49$;

2) $ab + 4,4 > 19,38$;

3) $4a + b^2 > 105,02$.

1) Дано, что $a > 1,5$ и $b > 10$. Для доказательства неравенства $6a + 5b > 49$ используем свойства числовых неравенств. Умножим обе части первого неравенства на положительное число 6, при этом знак неравенства сохранится: $6a > 6 \cdot 1,5$, откуда получаем $6a > 9$. Аналогично, умножим обе части второго неравенства на положительное число 5: $5b > 5 \cdot 10$, откуда $5b > 50$. Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака ($6a > 9$ и $5b > 50$): $6a + 5b > 9 + 50$, что равносильно $6a + 5b > 59$. Поскольку число 59 больше, чем 49 ($59 > 49$), то из того, что $6a + 5b > 59$, следует, что $6a + 5b > 49$. Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Дано, что $a > 1,5$ и $b > 10$. Для доказательства неравенства $ab + 4,4 > 19,38$ сначала оценим произведение $ab$. Так как все части исходных неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить, сохранив знак неравенства: $a \cdot b > 1,5 \cdot 10$, то есть $ab > 15$. Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 4,4: $ab + 4,4 > 15 + 4,4$, что дает нам $ab + 4,4 > 19,4$. Сравнивая полученный результат с требуемым, видим, что $19,4 > 19,38$. Следовательно, если $ab + 4,4$ больше 19,4, то оно заведомо больше 19,38. Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Дано, что $a > 1,5$ и $b > 10$. Для доказательства неравенства $4a + b^2 > 105,02$ оценим каждое слагаемое в левой части. Умножим неравенство $a > 1,5$ на 4: $4a > 4 \cdot 1,5$, откуда $4a > 6$. Для оценки $b^2$, возведем в квадрат неравенство $b > 10$. Так как обе части неравенства положительны, знак неравенства при возведении в квадрат сохранится: $b^2 > 10^2$, то есть $b^2 > 100$. Теперь сложим полученные неравенства $4a > 6$ и $b^2 > 100$: $4a + b^2 > 6 + 100$, что дает $4a + b^2 > 106$. Так как $106 > 105,02$, то неравенство $4a + b^2 > 105,02$ тем более является верным. Ответ: Что и требовалось доказать.