номер 995, страница 60, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите неравенства (993—995):

995.

1) $ \frac{3x - 4}{2} > \frac{6 - 2x}{3} $;

2) $ \frac{10 - x}{6} \ge \frac{x + 7}{5} $;

3) $ \frac{3 + 2x}{12} \le \frac{3x - 2}{15} $;

4) $ \frac{y - 5}{18} > \frac{6 - y}{24} $.

1) Исходное неравенство: $ \frac{3x - 4}{2} > \frac{6 - 2x}{3} $.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 3. НОК(2, 3) = 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$ 6 \cdot \frac{3x - 4}{2} > 6 \cdot \frac{6 - 2x}{3} $

$ 3(3x - 4) > 2(6 - 2x) $

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$ 9x - 12 > 12 - 4x $

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $\text{x}$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую часть, изменяя их знаки на противоположные:

$ 9x + 4x > 12 + 12 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 13x > 24 $

Разделим обе части неравенства на 13 (положительное число, поэтому знак неравенства сохраняется):

$ x > \frac{24}{13} $

Решением неравенства является числовой промежуток от $ \frac{24}{13} $ до $ +\infty $, не включая $ \frac{24}{13} $.

Ответ: $ x \in (\frac{24}{13}; +\infty) $

2) Исходное неравенство: $ \frac{10 - x}{6} \ge \frac{x + 7}{5} $.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 6 и 5, которое равно 30. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется.

$ 30 \cdot \frac{10 - x}{6} \ge 30 \cdot \frac{x + 7}{5} $

$ 5(10 - x) \ge 6(x + 7) $

Раскроем скобки:

$ 50 - 5x \ge 6x + 42 $

Сгруппируем слагаемые с переменной $\text{x}$ в правой части, а числа — в левой:

$ 50 - 42 \ge 6x + 5x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 8 \ge 11x $

Запишем неравенство в более привычном виде, поменяв части местами и изменив знак на противоположный:

$ 11x \le 8 $

Разделим обе части на 11:

$ x \le \frac{8}{11} $

Решением является числовой промежуток от $ -\infty $ до $ \frac{8}{11} $, включая $ \frac{8}{11} $.

Ответ: $ x \in (-\infty; \frac{8}{11}] $

3) Исходное неравенство: $ \frac{3 + 2x}{12} \le \frac{3x - 2}{15} $.

Найдем НОК знаменателей 12 и 15. Разложим их на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Умножим обе части неравенства на 60. Знак неравенства не изменится.

$ 60 \cdot \frac{3 + 2x}{12} \le 60 \cdot \frac{3x - 2}{15} $

$ 5(3 + 2x) \le 4(3x - 2) $

Раскроем скобки:

$ 15 + 10x \le 12x - 8 $

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в правую часть, а числа — в левую:

$ 15 + 8 \le 12x - 10x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 23 \le 2x $

Разделим обе части на 2:

$ \frac{23}{2} \le x $ или $ x \ge 11.5 $

Решением является числовой промежуток от $ \frac{23}{2} $ до $ +\infty $, включая $ \frac{23}{2} $.

Ответ: $ x \in [\frac{23}{2}; +\infty) $

4) Исходное неравенство: $ \frac{y - 5}{18} > \frac{6 - y}{24} $.

Найдем НОК знаменателей 18 и 24. $18 = 2 \cdot 3^2$, $24 = 2^3 \cdot 3$. НОК(18, 24) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$. Умножим обе части неравенства на 72. Знак неравенства останется прежним.

$ 72 \cdot \frac{y - 5}{18} > 72 \cdot \frac{6 - y}{24} $

$ 4(y - 5) > 3(6 - y) $

Раскроем скобки:

$ 4y - 20 > 18 - 3y $

Перенесем слагаемые с переменной $\text{y}$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 4y + 3y > 18 + 20 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 7y > 38 $

Разделим обе части на 7:

$ y > \frac{38}{7} $

Решением является интервал от $ \frac{38}{7} $ до $ +\infty $.

Ответ: $ y \in (\frac{38}{7}; +\infty) $