номер 2, страница 132, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Почему три рациональных числа можно умножать в любом порядке?

Возможность умножать три рациональных числа в любом порядке объясняется двумя фундаментальными свойствами (законами) операции умножения, которые справедливы для множества рациональных чисел.

1. Переместительное свойство умножения (коммутативность)

Это свойство гласит, что от перемены мест множителей их произведение не меняется. Для любых двух рациональных чисел $\text{a}$ и $\text{b}$ справедливо равенство:

$a \cdot b = b \cdot a$

Это свойство легко проверить на примере рациональных чисел (дробей). Пусть $a = \frac{p}{q}$ и $b = \frac{r}{s}$. Тогда:

$a \cdot b = \frac{p}{q} \cdot \frac{r}{s} = \frac{p \cdot r}{q \cdot s}$

$b \cdot a = \frac{r}{s} \cdot \frac{p}{q} = \frac{r \cdot p}{s \cdot q}$

Поскольку для целых чисел, из которых состоят числители и знаменатели, умножение коммутативно ($p \cdot r = r \cdot p$ и $q \cdot s = s \cdot q$), то и результаты для дробей равны.

Ответ: Переместительное свойство позволяет менять местами любые два множителя, не изменяя результат произведения.

2. Сочетательное свойство умножения (ассоциативность)

Это свойство говорит о том, что при умножении трех и более чисел порядок выполнения действий (то есть то, как расставлены скобки) не влияет на конечный результат. Для любых трех рациональных чисел $\text{a}$, $\text{b}$ и $\text{c}$ справедливо равенство:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Благодаря этому свойству мы можем опускать скобки и писать просто $a \cdot b \cdot c$, так как результат будет одинаковым независимо от того, умножим ли мы сначала $\text{a}$ на $\text{b}$, а потом на $\text{c}$, или сначала $\text{b}$ на $\text{c}$, а потом $\text{a}$ на полученный результат.

Например: $ (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{6} = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16} $. С другой стороны: $ \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{24} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16} $.

Ответ: Сочетательное свойство позволяет произвольно группировать множители, не изменяя результат произведения.

3. Применение свойств для умножения трех чисел в любом порядке

Именно комбинация этих двух свойств позволяет нам переставлять три (и более) множителя в совершенно произвольном порядке. Рассмотрим произведение $a \cdot b \cdot c$. По умолчанию оно вычисляется слева направо: $(a \cdot b) \cdot c$. Покажем, как с помощью этих свойств можно получить любую другую перестановку, например, $c \cdot b \cdot a$.

Шаг 1: $(a \cdot b) \cdot c = c \cdot (a \cdot b)$ (применили переместительное свойство ко всему выражению, поменяв местами $\text{c}$ и скобку $(a \cdot b)$).

Шаг 2: $c \cdot (a \cdot b) = c \cdot (b \cdot a)$ (применили переместительное свойство внутри скобок).

Шаг 3: $c \cdot (b \cdot a) = (c \cdot b) \cdot a$ (применили сочетательное свойство, изменив группировку).

В результате мы от $a \cdot b \cdot c$ пришли к $(c \cdot b) \cdot a$, что доказывает возможность изменения порядка. Аналогичным образом можно получить любую из 6 возможных перестановок множителей $a, b, c$.

Ответ: Три рациональных числа можно умножать в любом порядке, потому что совместное действие переместительного и сочетательного законов умножения позволяет произвольно менять местами и группировать сомножители без изменения итогового произведения.