номер 3, страница 152, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3. Можно ли применить способ сложения для решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными в случае, если коэффициенты при $\text{x}$ и $\text{y}$ таковы, что сложение уравнений сразу не приводит к уменьшению числа неизвестных?

3. Да, способ сложения можно и нужно применять даже в том случае, если простое сложение исходных уравнений не приводит к исключению одной из переменных. Суть метода алгебраического сложения как раз и заключается в том, чтобы с помощью эквивалентных преобразований (умножения уравнений на числа, отличные от нуля) подготовить систему к такому сложению, которое приведет к исключению одной из переменных.

Алгоритм действий в таком случае выглядит следующим образом:

1. Выбрать переменную, которую необходимо исключить.
2. Умножить одно или оба уравнения системы на такие числовые множители, чтобы коэффициенты при выбранной переменной стали противоположными числами.
3. Сложить полученные уравнения почленно. В результате этого действия одна из переменных будет исключена, и получится линейное уравнение с одной переменной.
4. Решить полученное уравнение с одной переменной и найти её значение.
5. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы и найти значение второй переменной.

Рассмотрим на примере. Пусть дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 5x + 4y = 9 \end{cases} $

При простом сложении этих уравнений мы получим $7x + 7y = 16$, что не упрощает задачу, так как ни одна переменная не была исключена.

Чтобы применить метод сложения, выберем переменную, которую будем исключать, например, $\text{y}$. Коэффициенты при $\text{y}$ равны $\text{3}$ и $\text{4}$. Наименьшее общее кратное их модулей, $|3|$ и $|4|$, равно $12$. Нам нужно сделать так, чтобы коэффициенты при $\text{y}$ стали, например, $12$ и $-12$.

Для этого умножим обе части первого уравнения на $\text{4}$, а обе части второго уравнения на $-3$:

$ \begin{cases} 4 \cdot (2x + 3y) = 4 \cdot 7 \\ -3 \cdot (5x + 4y) = -3 \cdot 9 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x + 12y = 28 \\ -15x - 12y = -27 \end{cases} $

Теперь коэффициенты при $\text{y}$ ($12$ и $-12$) являются противоположными числами. Сложим почленно эти два новых уравнения:

$(8x + 12y) + (-15x - 12y) = 28 + (-27)$

$8x - 15x = 1$

$-7x = 1$

Отсюда находим $\text{x}$:

$x = - \frac{1}{7}$

Теперь подставим найденное значение $x = - \frac{1}{7}$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$2 \cdot (-\frac{1}{7}) + 3y = 7$

$-\frac{2}{7} + 3y = 7$

$3y = 7 + \frac{2}{7}$

$3y = \frac{49}{7} + \frac{2}{7}$

$3y = \frac{51}{7}$

$y = \frac{51}{7 \cdot 3} = \frac{17}{7}$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(-\frac{1}{7}; \frac{17}{7})$.

Этот пример показывает, что метод сложения универсален и работает даже тогда, когда "сразу" сложение не помогает. Предварительное умножение уравнений на подходящие множители является неотъемлемой частью этого метода.

Ответ: Да, можно. Для этого необходимо предварительно умножить одно или оба уравнения системы на такие числовые множители, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами. После этого можно складывать уравнения, что приведет к исключению одной из переменных.