Номер 1000, страница 73, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1000. При каких значениях $\text{x}$ расстояние между точками $A(x)$ и $B(3)$:

1) больше 4;

2) не меньше 2;

3) меньше 5;

4) не больше 6?

Расстояние между точками с координатами $x_1$ и $x_2$ на числовой прямой находится по формуле $d = |x_2 - x_1|$. В нашем случае даны точки $A(x)$ и $B(3)$, поэтому расстояние между ними равно $|x - 3|$.

1) больше 4;

Нам нужно найти значения $\text{x}$, при которых расстояние больше 4. Это условие записывается в виде неравенства: $|x - 3| > 4$.

Неравенство вида $|a| > b$ (где $b>0$) равносильно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$.

Применяя это правило, получаем:

$x - 3 > 4$ или $x - 3 < -4$.

Решим каждое неравенство:

Из $x - 3 > 4$ следует $x > 4 + 3$, то есть $x > 7$.

Из $x - 3 < -4$ следует $x < -4 + 3$, то есть $x < -1$.

Объединяя эти два решения, получаем искомые значения $\text{x}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (7; +\infty)$.

2) не меньше 2;

Условие "не меньше 2" означает "больше или равно 2". Запишем соответствующее неравенство: $|x - 3| \geq 2$.

Это неравенство равносильно совокупности $x - 3 \geq 2$ или $x - 3 \leq -2$.

Решим каждое из них:

Из $x - 3 \geq 2$ следует $x \geq 2 + 3$, то есть $x \geq 5$.

Из $x - 3 \leq -2$ следует $x \leq -2 + 3$, то есть $x \leq 1$.

Объединяя решения, получаем искомые значения $\text{x}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$.

3) меньше 5;

Условие "меньше 5" приводит к неравенству: $|x - 3| < 5$.

Неравенство вида $|a| < b$ (где $b>0$) равносильно двойному неравенству $-b < a < b$.

Применяя это правило, получаем:

$-5 < x - 3 < 5$.

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства:

$-5 + 3 < x - 3 + 3 < 5 + 3$.

$-2 < x < 8$.

Ответ: $x \in (-2; 8)$.

4) не больше 6?

Условие "не больше 6" означает "меньше или равно 6". Составим неравенство: $|x - 3| \leq 6$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-6 \leq x - 3 \leq 6$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$-6 + 3 \leq x - 3 + 3 \leq 6 + 3$.

$-3 \leq x \leq 9$.

Ответ: $x \in [-3; 9]$.