Номер 995, страница 72, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

995. Решите неравенства:

1) $|2x+1| < 3;$

2) $|1-2x| \le 5;$

3) $|3x-2| > 7;$

4) $|4+3x| \ge 2;$

5) $|5x+3| < 7;$

6) $|4x+3| \ge 5.$

1) Решим неравенство $|2x + 1| < 3$.

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$.

Применительно к нашему случаю, получаем: $-3 < 2x + 1 < 3$

Для решения этого двойного неравенства выполним преобразования со всеми его частями. Сначала вычтем 1: $-3 - 1 < 2x < 3 - 1$ $-4 < 2x < 2$

Теперь разделим все части на 2: $\frac{-4}{2} < x < \frac{2}{2}$ $-2 < x < 1$

Решением является открытый интервал от -2 до 1.

Ответ: $x \in (-2; 1)$.

2) Решим неравенство $|1 - 2x| \le 5$.

Неравенство вида $|f(x)| \le a$ (где $a \ge 0$) равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применительно к нашему случаю, получаем: $-5 \le 1 - 2x \le 5$

Вычтем 1 из всех частей неравенства: $-5 - 1 \le -2x \le 5 - 1$ $-6 \le -2x \le 4$

Разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $\frac{-6}{-2} \ge x \ge \frac{4}{-2}$ $3 \ge x \ge -2$

Запишем это в более привычном виде: $-2 \le x \le 3$

Решением является отрезок от -2 до 3.

Ответ: $x \in [-2; 3]$.

3) Решим неравенство $|3x - 2| > 7$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В нашем случае это означает, что мы должны решить два неравенства: $3x - 2 > 7$ или $3x - 2 < -7$

Решим первое неравенство: $3x > 7 + 2$ $3x > 9$ $x > 3$

Решим второе неравенство: $3x < -7 + 2$ $3x < -5$ $x < -\frac{5}{3}$

Решением является объединение двух интервалов: $x < -5/3$ и $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5/3) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $|4 + 3x| \ge 2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge a$ (где $a \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) \ge a$ или $f(x) \le -a$.

В нашем случае это означает, что мы должны решить два неравенства: $4 + 3x \ge 2$ или $4 + 3x \le -2$

Решим первое неравенство: $3x \ge 2 - 4$ $3x \ge -2$ $x \ge -\frac{2}{3}$

Решим второе неравенство: $3x \le -2 - 4$ $3x \le -6$ $x \le -2$

Решением является объединение двух промежутков: $x \le -2$ и $x \ge -2/3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [-2/3; +\infty)$.

5) Решим неравенство $|5x + 3| < 7$.

Данное неравенство равносильно двойному неравенству: $-7 < 5x + 3 < 7$

Вычтем 3 из всех частей неравенства: $-7 - 3 < 5x < 7 - 3$ $-10 < 5x < 4$

Разделим все части неравенства на 5: $\frac{-10}{5} < x < \frac{4}{5}$ $-2 < x < \frac{4}{5}$

Решением является интервал от -2 до 4/5.

Ответ: $x \in (-2; 4/5)$.

6) Решим неравенство $|4x + 3| \ge 5$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $4x + 3 \ge 5$ или $4x + 3 \le -5$

Решим первое неравенство: $4x \ge 5 - 3$ $4x \ge 2$ $x \ge \frac{2}{4}$ $x \ge \frac{1}{2}$

Решим второе неравенство: $4x \le -5 - 3$ $4x \le -8$ $x \le -2$

Решением является объединение полученных промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [1/2; +\infty)$.