Номер 991, страница 71, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

991. Решите неравенства:

1) $|x-3| \ge 1,8;$

2) $|2-x| > \frac{1}{3};$

3) $|3-x| < 1,2;$

4) $|4+x| \le 1,8;$

5) $|0,5-x| \ge 3;$

6) $|6-x| \le 2,1.$

1) Неравенство $|x-3| \geq 1,8$ равносильно совокупности двух неравенств: $x-3 \geq 1,8$ или $x-3 \leq -1,8$. Решим первое неравенство: $x-3 \geq 1,8$, откуда $x \geq 1,8 + 3$, то есть $x \geq 4,8$. Решим второе неравенство: $x-3 \leq -1,8$, откуда $x \leq 3 - 1,8$, то есть $x \leq 1,2$. Решением неравенства является объединение полученных промежутков.

Ответ: $(-\infty; 1,2] \cup [4,8; +\infty)$.

2) Используя свойство модуля $|a-b|=|b-a|$, перепишем неравенство в виде $|x-2| > \frac{1}{3}$. Это неравенство равносильно совокупности $x-2 > \frac{1}{3}$ или $x-2 < -\frac{1}{3}$. Из первого неравенства получаем $x > 2 + \frac{1}{3}$, то есть $x > \frac{7}{3}$. Из второго неравенства получаем $x < 2 - \frac{1}{3}$, то есть $x < \frac{5}{3}$. Решением является объединение этих интервалов.

Ответ: $(-\infty; \frac{5}{3}) \cup (\frac{7}{3}; +\infty)$.

3) Неравенство $|3-x| < 1,2$ равносильно $|x-3| < 1,2$. Неравенства вида $|f(x)| < a$, где $a>0$, равносильны двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Следовательно, наше неравенство равносильно $-1,2 < x-3 < 1,2$. Прибавим 3 ко всем частям двойного неравенства: $3 - 1,2 < x < 3 + 1,2$. Откуда получаем $1,8 < x < 4,2$.

Ответ: $(1,8; 4,2)$.

4) Неравенство $|4+x| \leq 1,8$ равносильно двойному неравенству $-1,8 \leq 4+x \leq 1,8$. Вычтем 4 из всех частей неравенства: $-1,8 - 4 \leq x \leq 1,8 - 4$. В результате получаем $-5,8 \leq x \leq -2,2$.

Ответ: $[-5,8; -2,2]$.

5) Перепишем неравенство $|0,5-x| \geq 3$, используя свойство модуля: $|x-0,5| \geq 3$. Это неравенство равносильно совокупности $x-0,5 \geq 3$ или $x-0,5 \leq -3$. Решая первое неравенство, находим $x \geq 3 + 0,5$, то есть $x \geq 3,5$. Решая второе, находим $x \leq -3 + 0,5$, то есть $x \leq -2,5$. Решением является объединение этих промежутков.

Ответ: $(-\infty; -2,5] \cup [3,5; +\infty)$.

6) Неравенство $|6-x| \leq 2,1$ равносильно $|x-6| \leq 2,1$. Оно, в свою очередь, равносильно двойному неравенству $-2,1 \leq x-6 \leq 2,1$. Прибавим 6 ко всем частям неравенства: $6 - 2,1 \leq x \leq 6 + 2,1$. Выполняя сложение и вычитание, получаем $3,9 \leq x \leq 8,1$.

Ответ: $[3,9; 8,1]$.