Номер 3, страница 70, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. В каком случае неравенство с модулем имеет бесконечное множество решений?

Неравенство с модулем имеет бесконечное множество решений в подавляющем большинстве случаев. Ситуации, когда решений нет или их конечное число, являются скорее исключениями. Чтобы понять, в каких случаях это происходит, рассмотрим базовые неравенства с модулем.

Возьмем неравенства вида $|f(x)| > a$ или $|f(x)| \ge a$, где $f(x)$ — выражение с переменной, а $\text{a}$ — число. Они почти всегда имеют бесконечное множество решений. Разберем по значениям числа $\text{a}$:

1. Если $\text{a}$ — отрицательное число ($a < 0$), то неравенство $|f(x)| > a$ (или $\ge a$) будет верным для любого значения $\text{x}$ из области определения функции $f(x)$. Это происходит потому, что модуль $|f(x)|$ по определению всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$), а значит, он гарантированно будет больше любого отрицательного числа. Например, решением неравенства $|x-5| > -2$ является любое действительное число, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$, что является бесконечным множеством.

2. Если $a = 0$, то неравенство $|f(x)| \ge 0$ также верно для любого $\text{x}$ из области определения $f(x)$. Неравенство $|f(x)| > 0$ верно для всех $\text{x}$, кроме тех, для которых $f(x) = 0$. Если уравнение $f(x)=0$ имеет конечное число корней (что типично для школьных задач), то множество решений неравенства будет состоять из всей числовой прямой, за исключением нескольких точек, и, следовательно, будет бесконечным. Например, для $|x-3| > 0$ решением является $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Если $\text{a}$ — положительное число ($a > 0$), то неравенство вида $|f(x)| > a$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$. Для большинства не-константных функций $f(x)$ (линейных, квадратичных и т.д.) решением будет объединение двух бесконечных промежутков. Например, для $|x| > 5$ решением является $x \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)$.

Теперь рассмотрим неравенства вида $|f(x)| < a$ или $|f(x)| \le a$.

1. Если $\text{a}$ — положительное число ($a > 0$), то неравенство $|f(x)| < a$ равносильно двойному неравенству $-a < f(x) < a$. Если $f(x)$ — не-константная непрерывная функция, то это неравенство определяет непустой интервал или отрезок, который всегда содержит бесконечное множество действительных чисел. Например, для $|2x-1| \le 3$ получаем $-3 \le 2x-1 \le 3$, что приводит к решению $-1 \le x \le 2$, или $x \in [-1; 2]$. Этот отрезок содержит бесконечное множество чисел.

2. Именно в случае, когда $a \le 0$, появляются ситуации с отсутствием или конечным числом решений. Например, неравенство $|f(x)| < -5$ не имеет решений, а неравенство $|x^2-1| \le 0$ имеет только два решения $x=1$ и $x=-1$, так как оно равносильно уравнению $x^2-1=0$.

Таким образом, неравенство с модулем будет иметь бесконечное множество решений практически всегда, кроме специфических случаев, когда модуль сравнивается с неположительным числом в неравенстве типа «меньше» или «меньше либо равно».

Ответ: Неравенство с модулем имеет бесконечное множество решений в следующих основных случаях:

1. Для неравенств вида $|f(x)| > a$ или $|f(x)| \ge a$ при практически любом числе $\text{a}$. Если $a < 0$, решением будет вся область определения $f(x)$. Если $a = 0$, решением будет вся область определения за вычетом корней уравнения $f(x)=0$. Если $a > 0$, решением будет, как правило, объединение бесконечных промежутков.

2. Для неравенств вида $|f(x)| < a$ или $|f(x)| \le a$, если число $\text{a}$ строго положительно ($a>0$). В этом случае решением обычно является интервал, отрезок или их объединение, что представляет собой бесконечное множество точек.