Номер 982, страница 66, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы неравенств (981-986).

982.

1) $\begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{1}{4}(x-2) > x - \frac{x-1}{2}, \\ \frac{0,7x-8,7}{3} - \frac{5}{6} < 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - \frac{x+5}{3} - \frac{x-1}{6} > \frac{3x+2}{8}, \\ \frac{3+x}{4} > \frac{x-0,2}{2} - \frac{x}{5}. \end{cases}$

1)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{x}{3} + \frac{1}{4}(x-2) > x - \frac{x-1}{2} \\ \frac{0.7x - 8.7}{3} - \frac{5}{6} < 0 \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$\frac{x}{3} + \frac{1}{4}(x-2) > x - \frac{x-1}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 4, 2), которое равно 12:

$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{1}{4}(x-2) > 12 \cdot x - 12 \cdot \frac{x-1}{2}$

$4x + 3(x-2) > 12x - 6(x-1)$

Раскроем скобки:

$4x + 3x - 6 > 12x - 6x + 6$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$7x - 6 > 6x + 6$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$7x - 6x > 6 + 6$

$x > 12$

Второе неравенство:

$\frac{0.7x - 8.7}{3} - \frac{5}{6} < 0$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 6), равное 6:

$6 \cdot \frac{0.7x - 8.7}{3} - 6 \cdot \frac{5}{6} < 6 \cdot 0$

$2(0.7x - 8.7) - 5 < 0$

Раскроем скобки:

$1.4x - 17.4 - 5 < 0$

$1.4x - 22.4 < 0$

Перенесем постоянный член в правую часть:

$1.4x < 22.4$

Разделим обе части на 1.4:

$x < \frac{22.4}{1.4}$

$x < 16$

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 12$ и $x < 16$. Это соответствует интервалу, где оба условия выполняются одновременно.

Решением системы является интервал $(12; 16)$.

Ответ: $(12; 16)$.

2)

Решим систему неравенств:

$$ \begin{cases} x - \frac{x+5}{3} - \frac{x-1}{6} > \frac{3x+2}{8} \\ \frac{3+x}{4} > \frac{x-0.2}{2} - \frac{x}{5} \end{cases} $$

Решим каждое неравенство по отдельности.

Первое неравенство:

$x - \frac{x+5}{3} - \frac{x-1}{6} > \frac{3x+2}{8}$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 6, 8), равное 24:

$24x - 24 \cdot \frac{x+5}{3} - 24 \cdot \frac{x-1}{6} > 24 \cdot \frac{3x+2}{8}$

$24x - 8(x+5) - 4(x-1) > 3(3x+2)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$24x - 8x - 40 - 4x + 4 > 9x + 6$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$12x - 36 > 9x + 6$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а постоянные — в правую:

$12x - 9x > 6 + 36$

$3x > 42$

Разделим обе части на 3:

$x > 14$

Второе неравенство:

$\frac{3+x}{4} > \frac{x-0.2}{2} - \frac{x}{5}$

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 2, 5), равное 20:

$20 \cdot \frac{3+x}{4} > 20 \cdot \frac{x-0.2}{2} - 20 \cdot \frac{x}{5}$

$5(3+x) > 10(x-0.2) - 4x$

Раскроем скобки:

$15 + 5x > 10x - 2 - 4x$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$15 + 5x > 6x - 2$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в правую часть, а постоянные — в левую, чтобы коэффициент при $\text{x}$ был положительным:

$15 + 2 > 6x - 5x$

$17 > x$, что эквивалентно $x < 17$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 14$ и $x < 17$. Это область, где оба условия выполняются одновременно.

Решением системы является интервал $(14; 17)$.

Ответ: $(14; 17)$.