Номер 977, страница 65, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы неравенств (975-977).

977.

1) $$ \begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{x}{3} < 2, \\ 2 - \frac{1}{3}x > 0; \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} x - \frac{x+3}{2} \geqslant 1, \\ -\frac{x}{2} \leqslant 2 - \frac{x}{3}; \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} < \frac{x}{6} - 1, \\ 6 - \frac{x}{2} > \frac{x}{4} + 3; \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{2}{3} < \frac{2}{5} - \frac{x}{3}, \\ \frac{2}{7} + \frac{x}{3} > \frac{x}{7} - \frac{2}{3}. \end{cases} $$

1)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{6} + \frac{x}{3} < 2 \\ 2 - \frac{1}{3}x > 0 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство: $\frac{x}{6} + \frac{x}{3} < 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6: $\frac{x}{6} + \frac{2x}{6} < 2$.

Сложим дроби: $\frac{3x}{6} < 2$.

Сократим дробь: $\frac{x}{2} < 2$.

Умножим обе части неравенства на 2: $x < 4$.

Теперь решим второе неравенство: $2 - \frac{1}{3}x > 0$.

Перенесем 2 в правую часть с противоположным знаком: $-\frac{1}{3}x > -2$.

Умножим обе части на -3. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < (-2) \cdot (-3)$, то есть $x < 6$.

Мы получили два условия: $x < 4$ и $x < 6$. Решением системы является пересечение этих двух множеств.

Оба неравенства выполняются одновременно, когда $\text{x}$ строго меньше 4.

Ответ: $(-\infty; 4)$.

2)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} x - \frac{x+3}{2} \ge 1 \\ -\frac{x}{2} \le 2 - \frac{x}{3} \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x - \frac{x+3}{2} \ge 1$.

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя: $2x - (x+3) \ge 2$.

Раскроем скобки: $2x - x - 3 \ge 2$.

Упростим: $x - 3 \ge 2$.

Перенесем -3 в правую часть: $x \ge 2 + 3$, то есть $x \ge 5$.

Решим второе неравенство: $-\frac{x}{2} \le 2 - \frac{x}{3}$.

Перенесем члены с $\text{x}$ в одну сторону: $\frac{x}{3} - \frac{x}{2} \le 2$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6: $\frac{2x}{6} - \frac{3x}{6} \le 2$.

Выполним вычитание: $\frac{-x}{6} \le 2$.

Умножим обе части на 6: $-x \le 12$.

Умножим на -1, изменив знак неравенства: $x \ge -12$.

Мы получили два условия: $x \ge 5$ и $x \ge -12$. Решение системы — это пересечение этих двух множеств.

Оба неравенства выполняются одновременно, когда $\text{x}$ больше или равен 5.

Ответ: $[5; +\infty)$.

3)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{3} - \frac{x}{4} < -1 \\ 6 - \frac{x}{2} > \frac{x}{4} + 3 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} < -1$.

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{4x}{12} - \frac{3x}{12} < -1$.

Упростим левую часть: $\frac{x}{12} < -1$.

Умножим обе части на 12: $x < -12$.

Решим второе неравенство: $6 - \frac{x}{2} > \frac{x}{4} + 3$.

Сгруппируем члены с $\text{x}$ в одной части, а свободные члены в другой: $6 - 3 > \frac{x}{4} + \frac{x}{2}$.

Упростим: $3 > \frac{x}{4} + \frac{2x}{4}$.

$3 > \frac{3x}{4}$.

Умножим обе части на 4: $12 > 3x$.

Разделим обе части на 3: $4 > x$, или $x < 4$.

Мы получили два условия: $x < -12$ и $x < 4$. Решение системы — это пересечение этих двух множеств.

Оба неравенства выполняются одновременно, когда $\text{x}$ строго меньше -12.

Ответ: $(-\infty; -12)$.

4)

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{x}{5} - \frac{2}{3} < \frac{2}{5} - \frac{x}{3} \\ \frac{2}{7} + \frac{x}{3} > \frac{x}{7} - \frac{2}{3} \end{cases} $

Решим первое неравенство: $\frac{x}{5} - \frac{2}{3} < \frac{2}{5} - \frac{x}{3}$.

Сгруппируем члены с $\text{x}$ слева, а свободные члены справа: $\frac{x}{5} + \frac{x}{3} < \frac{2}{5} + \frac{2}{3}$.

Приведем к общему знаменателю 15: $\frac{3x+5x}{15} < \frac{6+10}{15}$.

Упростим: $\frac{8x}{15} < \frac{16}{15}$.

Умножим обе части на 15: $8x < 16$.

Разделим на 8: $x < 2$.

Решим второе неравенство: $\frac{2}{7} + \frac{x}{3} > \frac{x}{7} - \frac{2}{3}$.

Сгруппируем члены с $\text{x}$ слева, а свободные члены справа: $\frac{x}{3} - \frac{x}{7} > -\frac{2}{3} - \frac{2}{7}$.

Приведем к общему знаменателю 21: $\frac{7x-3x}{21} > \frac{-14-6}{21}$.

Упростим: $\frac{4x}{21} > \frac{-20}{21}$.

Умножим обе части на 21: $4x > -20$.

Разделим на 4: $x > -5$.

Мы получили два условия: $x < 2$ и $x > -5$. Решением системы является пересечение этих двух интервалов.

Это соответствует двойному неравенству $-5 < x < 2$.

Ответ: $(-5; 2)$.