Номер 980, страница 65, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

980. Вычислите рациональным способом:

1) $\frac{\frac{3}{8} + \frac{7}{12} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{5}{8} + \frac{1}{6}}$;

2) $\frac{\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{2}{3}}{\frac{5}{6} - \frac{1}{2} - \frac{2}{9}}$;

3) $\frac{\frac{7}{12} - \frac{2}{15} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{30} - \frac{2}{15}}$.

1) Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{\frac{3}{8} + \frac{7}{12} + \frac{1}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{5}{8} + \frac{1}{6}} $ рациональным способом, умножим его числитель и знаменатель на одно и то же число. Это число — наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей (8, 12, 2, 4, 6), чтобы избавиться от всех дробей.

Найдем НОК(2, 4, 6, 8, 12). Разложим числа на простые множители:

$2 = 2$

$4 = 2^2$

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2^3$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(2, 4, 6, 8, 12) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Теперь умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 24:

$ \frac{(\frac{3}{8} + \frac{7}{12} + \frac{1}{2}) \cdot 24}{(\frac{3}{4} - \frac{5}{8} + \frac{1}{6}) \cdot 24} = \frac{\frac{3}{8} \cdot 24 + \frac{7}{12} \cdot 24 + \frac{1}{2} \cdot 24}{\frac{3}{4} \cdot 24 - \frac{5}{8} \cdot 24 + \frac{1}{6} \cdot 24} $

Вычисляем числитель:

$3 \cdot 3 + 7 \cdot 2 + 1 \cdot 12 = 9 + 14 + 12 = 35$.

Вычисляем знаменатель:

$3 \cdot 6 - 5 \cdot 3 + 1 \cdot 4 = 18 - 15 + 4 = 7$.

Полученная дробь равна $ \frac{35}{7} = 5 $.

Ответ: 5.

2) Для выражения $ \frac{\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{2}{3}}{\frac{5}{6} - \frac{1}{2} - \frac{2}{9}} $ применим тот же рациональный метод. Умножим числитель и знаменатель на НОК знаменателей (9, 6, 3, 2).

НОК(2, 3, 6, 9) = 18.

Умножаем числитель и знаменатель на 18:

$ \frac{(\frac{5}{9} - \frac{1}{6} + \frac{2}{3}) \cdot 18}{(\frac{5}{6} - \frac{1}{2} - \frac{2}{9}) \cdot 18} = \frac{\frac{5}{9} \cdot 18 - \frac{1}{6} \cdot 18 + \frac{2}{3} \cdot 18}{\frac{5}{6} \cdot 18 - \frac{1}{2} \cdot 18 - \frac{2}{9} \cdot 18} $

Вычисляем числитель:

$5 \cdot 2 - 1 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 10 - 3 + 12 = 19$.

Вычисляем знаменатель:

$5 \cdot 3 - 1 \cdot 9 - 2 \cdot 2 = 15 - 9 - 4 = 2$.

Полученная дробь равна $ \frac{19}{2} $.

Ответ: $ \frac{19}{2} $.

3) Вычислим выражение $ \frac{\frac{7}{12} - \frac{2}{15} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{30} - \frac{2}{15}} $ рациональным способом. Найдем НОК знаменателей (12, 15, 4, 3, 30) и умножим на него числитель и знаменатель.

Найдем НОК(3, 4, 12, 15, 30).

$3 = 3$

$4 = 2^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

$15 = 3 \cdot 5$

$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$

НОК(3, 4, 12, 15, 30) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 15 = 60$.

Умножаем числитель и знаменатель на 60:

$ \frac{(\frac{7}{12} - \frac{2}{15} - \frac{1}{4}) \cdot 60}{(\frac{1}{3} - \frac{1}{30} - \frac{2}{15}) \cdot 60} = \frac{\frac{7}{12} \cdot 60 - \frac{2}{15} \cdot 60 - \frac{1}{4} \cdot 60}{\frac{1}{3} \cdot 60 - \frac{1}{30} \cdot 60 - \frac{2}{15} \cdot 60} $

Вычисляем числитель:

$7 \cdot 5 - 2 \cdot 4 - 1 \cdot 15 = 35 - 8 - 15 = 12$.

Вычисляем знаменатель:

$1 \cdot 20 - 1 \cdot 2 - 2 \cdot 4 = 20 - 2 - 8 = 10$.

Полученная дробь равна $ \frac{12}{10} $, что можно сократить до $ \frac{6}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.