Номер 981, страница 65, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

Решите системы неравенств (981-986).

981.

1) $\begin{cases} \frac{0,6x+6}{3} - \frac{0,2x+1}{2} > 1, \\ \frac{4-3x}{2} > 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{0,8x-1}{5} - \frac{1}{2}x \le 0,48, \\ \frac{x-5}{3} - 1 \le \frac{x}{6}; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{0,2x-1}{7} - \frac{0,3x}{2} \le 0,1, \\ \frac{x+1}{3} - 1 \le \frac{x}{4}; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{1,4-x}{5} - \frac{0,6x}{3} < 2,28, \\ \frac{2x-1}{7} - 1 > \frac{x}{3}. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{0,6x + 6}{3} - \frac{0,2x + 1}{2} > 1 \\ \frac{4 - 3x}{2} > 5 \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{0,6x + 6}{3} - \frac{0,2x + 1}{2} > 1 $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$$ 6 \cdot \left( \frac{0,6x + 6}{3} \right) - 6 \cdot \left( \frac{0,2x + 1}{2} \right) > 6 \cdot 1 $$

$$ 2(0,6x + 6) - 3(0,2x + 1) > 6 $$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$$ 1,2x + 12 - 0,6x - 3 > 6 $$

$$ 0,6x + 9 > 6 $$

$$ 0,6x > 6 - 9 $$

$$ 0,6x > -3 $$

Разделим обе части на 0,6:

$$ x > \frac{-3}{0,6} $$

$$ x > -5 $$

Теперь решим второе неравенство:

$$ \frac{4 - 3x}{2} > 5 $$

Умножим обе части на 2:

$$ 4 - 3x > 10 $$

$$ -3x > 10 - 4 $$

$$ -3x > 6 $$

Разделим обе части на -3, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$$ x < \frac{6}{-3} $$

$$ x < -2 $$

Решением системы является пересечение множеств решений двух неравенств: $x > -5$ и $x < -2$. Это соответствует интервалу $(-5; -2)$.

Ответ: $(-5; -2)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{0,8x - 1}{5} - \frac{1}{2}x \le 0,48 \\ \frac{x - 5}{3} - 1 \le \frac{x}{6} \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{0,8x - 1}{5} - \frac{1}{2}x \le 0,48 $$

Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей и упростить вычисления:

$$ 10 \cdot \left( \frac{0,8x - 1}{5} \right) - 10 \cdot \left( \frac{1}{2}x \right) \le 10 \cdot 0,48 $$

$$ 2(0,8x - 1) - 5x \le 4,8 $$

$$ 1,6x - 2 - 5x \le 4,8 $$

$$ -3,4x \le 4,8 + 2 $$

$$ -3,4x \le 6,8 $$

Разделим обе части на -3,4, изменив знак неравенства:

$$ x \ge \frac{6,8}{-3,4} $$

$$ x \ge -2 $$

Теперь решим второе неравенство:

$$ \frac{x - 5}{3} - 1 \le \frac{x}{6} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель, равный 6:

$$ 6 \cdot \left( \frac{x - 5}{3} \right) - 6 \cdot 1 \le 6 \cdot \left( \frac{x}{6} \right) $$

$$ 2(x - 5) - 6 \le x $$

$$ 2x - 10 - 6 \le x $$

$$ 2x - 16 \le x $$

$$ 2x - x \le 16 $$

$$ x \le 16 $$

Решением системы является пересечение решений: $x \ge -2$ и $x \le 16$. Это соответствует отрезку $[-2; 16]$.

Ответ: $[-2; 16]$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{0,2x - 1}{7} - \frac{0,3x}{2} \le 0,1 \\ \frac{x + 1}{3} - 1 < \frac{x}{4} \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{0,2x - 1}{7} - \frac{0,3x}{2} \le 0,1 $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 14:

$$ 14 \cdot \left( \frac{0,2x - 1}{7} \right) - 14 \cdot \left( \frac{0,3x}{2} \right) \le 14 \cdot 0,1 $$

$$ 2(0,2x - 1) - 7(0,3x) \le 1,4 $$

$$ 0,4x - 2 - 2,1x \le 1,4 $$

$$ -1,7x \le 1,4 + 2 $$

$$ -1,7x \le 3,4 $$

Разделим обе части на -1,7 и изменим знак неравенства:

$$ x \ge \frac{3,4}{-1,7} $$

$$ x \ge -2 $$

Решим второе неравенство:

$$ \frac{x + 1}{3} - 1 < \frac{x}{4} $$

Умножим обе части на 12:

$$ 12 \cdot \left( \frac{x + 1}{3} \right) - 12 \cdot 1 < 12 \cdot \left( \frac{x}{4} \right) $$

$$ 4(x + 1) - 12 < 3x $$

$$ 4x + 4 - 12 < 3x $$

$$ 4x - 8 < 3x $$

$$ 4x - 3x < 8 $$

$$ x < 8 $$

Решением системы является пересечение решений: $x \ge -2$ и $x < 8$. Это соответствует полуинтервалу $[-2; 8)$.

Ответ: $[-2; 8)$.

4)

Рассмотрим систему неравенств:

$$ \begin{cases} \frac{1,4 - x}{5} - \frac{0,6x}{3} < 2,28 \\ \frac{2x - 1}{7} - 1 > \frac{x}{3} \end{cases} $$

Решим первое неравенство:

$$ \frac{1,4 - x}{5} - \frac{0,6x}{3} < 2,28 $$

Упростим вторую дробь: $\frac{0,6x}{3} = 0,2x$. Неравенство примет вид:

$$ \frac{1,4 - x}{5} - 0,2x < 2,28 $$

Умножим обе части на 5:

$$ 5 \cdot \left( \frac{1,4 - x}{5} \right) - 5 \cdot (0,2x) < 5 \cdot 2,28 $$

$$ 1,4 - x - x < 11,4 $$

$$ 1,4 - 2x < 11,4 $$

$$ -2x < 11,4 - 1,4 $$

$$ -2x < 10 $$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства:

$$ x > \frac{10}{-2} $$

$$ x > -5 $$

Решим второе неравенство:

$$ \frac{2x - 1}{7} - 1 > \frac{x}{3} $$

Умножим обе части на наименьший общий знаменатель 21:

$$ 21 \cdot \left( \frac{2x - 1}{7} \right) - 21 \cdot 1 > 21 \cdot \left( \frac{x}{3} \right) $$

$$ 3(2x - 1) - 21 > 7x $$

$$ 6x - 3 - 21 > 7x $$

$$ 6x - 24 > 7x $$

$$ -24 > 7x - 6x $$

$$ -24 > x \text{, или } x < -24 $$

Нужно найти пересечение решений $x > -5$ и $x < -24$. Не существует чисел, которые были бы одновременно больше -5 и меньше -24. Следовательно, у системы нет решений.

Ответ: нет решений.