Номер 990, страница 71, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

990. Решите неравенства и изобразите множество их решений на координатной прямой:

1) $|x - 7| > 0;$

2) $|x - 4| < 3;$

3) $|2 + x| \le 3;$

4) $|x + 3| > 2;$

5) $|x - 4| \ge 3;$

6) $|x + 2| \ge 5.$

1)

Дано неравенство $|x-7| > 0$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|a| \ge 0$ для любого $\text{a}$.

Неравенство $|x-7| > 0$ будет верным для всех значений $\text{x}$, кроме тех, при которых выражение под модулем равно нулю.

Найдем значение $\text{x}$, при котором $|x-7| = 0$:

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Таким образом, решением неравенства являются все действительные числа, кроме $x=7$.

На координатной прямой это множество изображается всей числовой осью, за исключением точки 7, которая "выкалывается".

Ответ: $x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $|x-4| < 3$.

Это неравенство вида $|a| < c$ (где $c>0$), которое равносильно двойному неравенству $-c < a < c$.

Применяя это правило, получаем:

$-3 < x - 4 < 3$

Чтобы найти $\text{x}$, прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-3 + 4 < x - 4 + 4 < 3 + 4$

$1 < x < 7$

Решением является интервал от 1 до 7, не включая концы. На координатной прямой это изображается интервалом между точками 1 и 7, которые "выколоты".

Ответ: $x \in (1; 7)$.

3)

Дано неравенство $|2+x| \le 3$.

Это неравенство вида $|a| \le c$ (где $c>0$), которое равносильно двойному неравенству $-c \le a \le c$.

Применяя это правило, получаем:

$-3 \le 2 + x \le 3$

Чтобы найти $\text{x}$, вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-3 - 2 \le 2 + x - 2 \le 3 - 2$

$-5 \le x \le 1$

Решением является отрезок от -5 до 1, включая концы. На координатной прямой это изображается отрезком между точками -5 и 1, которые закрашены.

Ответ: $x \in [-5; 1]$.

4)

Дано неравенство $|x+3| > 2$.

Это неравенство вида $|a| > c$ (где $c>0$), которое равносильно совокупности двух неравенств: $a > c$ или $a < -c$.

Применяя это правило, получаем:

$x + 3 > 2$ или $x + 3 < -2$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x + 3 > 2 \implies x > 2 - 3 \implies x > -1$

2) $x + 3 < -2 \implies x < -2 - 3 \implies x < -5$

Решением является объединение двух промежутков. На координатной прямой это изображается двумя лучами: левее точки -5 и правее точки -1. Точки -5 и -1 "выколоты".

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-1; +\infty)$.

5)

Дано неравенство $|x-4| \ge 3$.

Это неравенство вида $|a| \ge c$ (где $c>0$), которое равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge c$ или $a \le -c$.

Применяя это правило, получаем:

$x - 4 \ge 3$ или $x - 4 \le -3$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x - 4 \ge 3 \implies x \ge 3 + 4 \implies x \ge 7$

2) $x - 4 \le -3 \implies x \le -3 + 4 \implies x \le 1$

Решением является объединение двух промежутков. На координатной прямой это изображается двумя лучами: левее точки 1 (включительно) и правее точки 7 (включительно). Точки 1 и 7 закрашены.

Ответ: $x \in (-\infty; 1] \cup [7; +\infty)$.

6)

Дано неравенство $|x+2| \ge 5$.

Это неравенство вида $|a| \ge c$ (где $c>0$), которое равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge c$ или $a \le -c$.

Применяя это правило, получаем:

$x + 2 \ge 5$ или $x + 2 \le -5$

Решаем каждое неравенство отдельно:

1) $x + 2 \ge 5 \implies x \ge 5 - 2 \implies x \ge 3$

2) $x + 2 \le -5 \implies x \le -5 - 2 \implies x \le -7$

Решением является объединение двух промежутков. На координатной прямой это изображается двумя лучами: левее точки -7 (включительно) и правее точки 3 (включительно). Точки -7 и 3 закрашены.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [3; +\infty)$.