Номер 996, страница 72, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

996. Решите неравенства и запишите множество их целых решений:

1) $|4x + 1| < 7;$

2) $|2x + 3| \le 4;$

3) $|x + 1| < 2,5;$

4) $|2x - 5| \le 3;$

5) $|2 + 3x| < 7;$

6) $|2 - 5x| \le 8.$

1) $|4x + 1| < 7$

Неравенство с модулем вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

$-7 < 4x + 1 < 7$

Вычтем 1 из каждой части неравенства, чтобы выделить $\text{x}$:

$-7 - 1 < 4x < 7 - 1$

$-8 < 4x < 6$

Разделим все части неравенства на 4:

$\frac{-8}{4} < x < \frac{6}{4}$

$-2 < x < 1,5$

Решением неравенства является интервал $(-2; 1,5)$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -1, 0, 1.

Ответ: $\{-1, 0, 1\}$.

2) $|2x + 3| \le 4$

Неравенство вида $|A| \le B$ равносильно двойному неравенству $-B \le A \le B$.

$-4 \le 2x + 3 \le 4$

Вычтем 3 из каждой части неравенства:

$-4 - 3 \le 2x \le 4 - 3$

$-7 \le 2x \le 1$

Разделим все части на 2:

$\frac{-7}{2} \le x \le \frac{1}{2}$

$-3,5 \le x \le 0,5$

Решением является отрезок $[-3,5; 0,5]$. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -3, -2, -1, 0.

Ответ: $\{-3, -2, -1, 0\}$.

3) $|x + 1| < 2,5$

Переходим к двойному неравенству:

$-2,5 < x + 1 < 2,5$

Вычтем 1 из каждой части:

$-2,5 - 1 < x < 2,5 - 1$

$-3,5 < x < 1,5$

Решением является интервал $(-3,5; 1,5)$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: $\{-3, -2, -1, 0, 1\}$.

4) $|2x - 5| \le 3$

Переходим к двойному неравенству:

$-3 \le 2x - 5 \le 3$

Прибавим 5 к каждой части:

$-3 + 5 \le 2x \le 3 + 5$

$2 \le 2x \le 8$

Разделим все части на 2:

$\frac{2}{2} \le x \le \frac{8}{2}$

$1 \le x \le 4$

Решением является отрезок $[1; 4]$. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: 1, 2, 3, 4.

Ответ: $\{1, 2, 3, 4\}$.

5) $|2 + 3x| < 7$

Переходим к двойному неравенству:

$-7 < 2 + 3x < 7$

Вычтем 2 из каждой части:

$-7 - 2 < 3x < 7 - 2$

$-9 < 3x < 5$

Разделим все части на 3:

$\frac{-9}{3} < x < \frac{5}{3}$

$-3 < x < 1\frac{2}{3}$

Решением является интервал $(-3; 1\frac{2}{3})$. Целые числа, принадлежащие этому интервалу: -2, -1, 0, 1.

Ответ: $\{-2, -1, 0, 1\}$.

6) $|2 - 5x| \le 8$

Переходим к двойному неравенству:

$-8 \le 2 - 5x \le 8$

Вычтем 2 из каждой части:

$-8 - 2 \le -5x \le 8 - 2$

$-10 \le -5x \le 6$

Разделим все части на -5. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-10}{-5} \ge x \ge \frac{6}{-5}$

$2 \ge x \ge -1,2$

Запишем в стандартном порядке: $-1,2 \le x \le 2$.

Решением является отрезок $[-1,2; 2]$. Целые числа, принадлежащие этому отрезку: -1, 0, 1, 2.

Ответ: $\{-1, 0, 1, 2\}$.