Номер 1001, страница 73, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1001.* Решите двойные неравенства и запишите множество целых чисел, которые являются их решениями:

1) $2 < |x + 1| < 5;$

2) $1,7 \le |3 - x| \le 4;$

3) $2,3 \le |x - 4| < 6;$

4) $1,6 \le |x - 1| \le 3;$

5) $4,5 < |x + 3| \le 7;$

6) $3,2 \le |x + 2| \le 6.$

1) Решим двойное неравенство $2 < |x + 1| < 5$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств: $2 < x + 1 < 5$ или $-5 < x + 1 < -2$.

Решая первое неравенство $2 < x + 1 < 5$, вычитаем 1 из всех частей: $2 - 1 < x < 5 - 1$, что приводит к $1 < x < 4$.

Решая второе неравенство $-5 < x + 1 < -2$, вычитаем 1 из всех частей: $-5 - 1 < x < -2 - 1$, что приводит к $-6 < x < -3$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение интервалов $x \in (-6, -3) \cup (1, 4)$.

Целые числа, входящие в эти интервалы: -5, -4, 2, 3.

Ответ: $\{-5, -4, 2, 3\}$.

2) Решим двойное неравенство $1,7 \le |3 - x| \le 4$.

Так как $|3 - x| = |x - 3|$, неравенство можно переписать в виде $1,7 \le |x - 3| \le 4$. Оно равносильно совокупности двух двойных неравенств: $1,7 \le x - 3 \le 4$ или $-4 \le x - 3 \le -1,7$.

Решая первое неравенство $1,7 \le x - 3 \le 4$, прибавляем 3 ко всем частям: $1,7 + 3 \le x \le 4 + 3$, что приводит к $4,7 \le x \le 7$.

Решая второе неравенство $-4 \le x - 3 \le -1,7$, прибавляем 3 ко всем частям: $-4 + 3 \le x \le -1,7 + 3$, что приводит к $-1 \le x \le 1,3$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков $x \in [-1, 1,3] \cup [4,7, 7]$.

Целые числа, входящие в эти промежутки: -1, 0, 1, 5, 6, 7.

Ответ: $\{-1, 0, 1, 5, 6, 7\}$.

3) Решим двойное неравенство $2,3 \le |x - 4| < 6$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств: $2,3 \le x - 4 < 6$ или $-6 < x - 4 \le -2,3$.

Решая первое неравенство $2,3 \le x - 4 < 6$, прибавляем 4 ко всем частям: $2,3 + 4 \le x < 6 + 4$, что приводит к $6,3 \le x < 10$.

Решая второе неравенство $-6 < x - 4 \le -2,3$, прибавляем 4 ко всем частям: $-6 + 4 < x \le -2,3 + 4$, что приводит к $-2 < x \le 1,7$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков $x \in (-2, 1,7] \cup [6,3, 10)$.

Целые числа, входящие в эти промежутки: -1, 0, 1, 7, 8, 9.

Ответ: $\{-1, 0, 1, 7, 8, 9\}$.

4) Решим двойное неравенство $1,6 \le |x - 1| \le 3$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств: $1,6 \le x - 1 \le 3$ или $-3 \le x - 1 \le -1,6$.

Решая первое неравенство $1,6 \le x - 1 \le 3$, прибавляем 1 ко всем частям: $1,6 + 1 \le x \le 3 + 1$, что приводит к $2,6 \le x \le 4$.

Решая второе неравенство $-3 \le x - 1 \le -1,6$, прибавляем 1 ко всем частям: $-3 + 1 \le x \le -1,6 + 1$, что приводит к $-2 \le x \le -0,6$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение отрезков $x \in [-2, -0,6] \cup [2,6, 4]$.

Целые числа, входящие в эти отрезки: -2, -1, 3, 4.

Ответ: $\{-2, -1, 3, 4\}$.

5) Решим двойное неравенство $4,5 < |x + 3| \le 7$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств: $4,5 < x + 3 \le 7$ или $-7 \le x + 3 < -4,5$.

Решая первое неравенство $4,5 < x + 3 \le 7$, вычитаем 3 из всех частей: $4,5 - 3 < x \le 7 - 3$, что приводит к $1,5 < x \le 4$.

Решая второе неравенство $-7 \le x + 3 < -4,5$, вычитаем 3 из всех частей: $-7 - 3 \le x < -4,5 - 3$, что приводит к $-10 \le x < -7,5$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение промежутков $x \in [-10, -7,5) \cup (1,5, 4]$.

Целые числа, входящие в эти промежутки: -10, -9, -8, 2, 3, 4.

Ответ: $\{-10, -9, -8, 2, 3, 4\}$.

6) Решим двойное неравенство $3,2 \le |x + 2| \le 6$.

Это неравенство равносильно совокупности двух двойных неравенств: $3,2 \le x + 2 \le 6$ или $-6 \le x + 2 \le -3,2$.

Решая первое неравенство $3,2 \le x + 2 \le 6$, вычитаем 2 из всех частей: $3,2 - 2 \le x \le 6 - 2$, что приводит к $1,2 \le x \le 4$.

Решая второе неравенство $-6 \le x + 2 \le -3,2$, вычитаем 2 из всех частей: $-6 - 2 \le x \le -3,2 - 2$, что приводит к $-8 \le x \le -5,2$.

Таким образом, решение неравенства есть объединение отрезков $x \in [-8, -5,2] \cup [1,2, 4]$.

Целые числа, входящие в эти отрезки: -8, -7, -6, 2, 3, 4.

Ответ: $\{-8, -7, -6, 2, 3, 4\}$.