Номер 989, страница 71, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

989. Решите неравенства и покажите на координатной прямой множество их решений:

1) $|x| < 3;$

2) $|x| \le 4;$

3) $|y| \ge 5;$

4) $|y| > 2.$

1) $|x| < 3$

Неравенство вида $|x| < a$, где $\text{a}$ - положительное число, означает, что расстояние от точки $\text{x}$ до начала координат (нуля) меньше чем $\text{a}$. Это равносильно двойному неравенству $-a < x < a$.

Для данного случая $|x| < 3$ получаем:

$-3 < x < 3$.

Это множество всех чисел, которые больше -3 и одновременно меньше 3. На координатной прямой это интервал, концы которого, точки -3 и 3, не включаются в решение. Они обозначаются выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: $x \in (-3, 3)$.

2) $|x| \le 4$

Неравенство вида $|x| \le a$ равносильно двойному неравенству $-a \le x \le a$.

Для данного случая $|x| \le 4$ получаем:

$-4 \le x \le 4$.

Это множество всех чисел, которые находятся между -4 и 4, включая сами эти числа. На координатной прямой это отрезок, концы которого, точки -4 и 4, включаются в решение. Они обозначаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: $x \in [-4, 4]$.

3) $|y| \ge 5$

Неравенство вида $|y| \ge a$ означает, что расстояние от точки $\text{y}$ до начала координат больше или равно $\text{a}$. Это выполняется для точек, которые находятся на прямой не ближе, чем на расстоянии $\text{a}$ от нуля. Неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $y \le -a$ или $y \ge a$.

Для данного случая $|y| \ge 5$ получаем:

$y \le -5$ или $y \ge 5$.

Множество решений состоит из двух лучей: один идёт от $-\infty$ до -5 включительно, а другой — от 5 включительно до $+\infty$. Граничные точки -5 и 5 включаются в решение и обозначаются закрашенными кружками.

Ответ: $y \in (-\infty, -5] \cup [5, \infty)$.

4) $|y| > 2$

Неравенство вида $|y| > a$ равносильно совокупности двух неравенств: $y < -a$ или $y > a$.

Для данного случая $|y| > 2$ получаем:

$y < -2$ или $y > 2$.

Множество решений состоит из двух открытых лучей: один идёт от $-\infty$ до -2, а другой — от 2 до $+\infty$. Граничные точки -2 и 2 не включаются в решение и обозначаются выколотыми кружками.

Ответ: $y \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.