Номер 1212, страница 131, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1212. В трех коробках находятся кольца разной массы. В одной коробке каждое кольцо весит $10 \text{ г}$, в другой — $13 \text{ г}$, в третьей — $20 \text{ г}$. По внешнему виду все кольца одинаковые. Неизвестно, какой массы кольца находятся в каждой коробке. Пользуясь весами со стрелкой и взвесив только один раз, как определить, в какой коробке находятся кольца массой $13 \text{ г}$?

Для того чтобы определить, в какой коробке находятся кольца массой 13 г, с помощью одного взвешивания, нужно создать ситуацию, в которой результат взвешивания будет уникальным для каждого возможного расположения колец в коробках. Для этого нужно выполнить следующие действия:

1. Произвольно пронумеруйте коробки: №1, №2 и №3.

2. Возьмите из коробки №1 одно кольцо, из коробки №2 — два кольца, а из коробки №3 — три кольца.

3. Положите все отобранные кольца (всего $1+2+3=6$ колец) на весы и измерьте их общую массу. Обозначим эту массу как $\text{M}$.

Общая масса $\text{M}$ вычисляется по формуле $M = 1 \cdot m_1 + 2 \cdot m_2 + 3 \cdot m_3$, где $m_1, m_2, m_3$ — это неизвестные нам массы колец (10 г, 13 г или 20 г) в коробках №1, №2 и №3 соответственно. В зависимости от полученного значения $\text{M}$ можно однозначно определить, в какой из коробок находятся кольца по 13 г.

Рассмотрим все возможные варианты:

Случай 1: Кольца массой 13 г находятся в коробке №1.

Это означает, что $m_1=13$ г. В коробках №2 и №3 находятся кольца по 10 г и 20 г.

• Если $m_2=10$ г и $m_3=20$ г, то $M = 1 \cdot 13 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 20 = 13 + 20 + 60 = 93$ г.

• Если $m_2=20$ г и $m_3=10$ г, то $M = 1 \cdot 13 + 2 \cdot 20 + 3 \cdot 10 = 13 + 40 + 30 = 83$ г.

Таким образом, если весы покажут 93 г или 83 г, искомые кольца находятся в коробке №1.

Случай 2: Кольца массой 13 г находятся в коробке №2.

Это означает, что $m_2=13$ г. В коробках №1 и №3 находятся кольца по 10 г и 20 г.

• Если $m_1=10$ г и $m_3=20$ г, то $M = 1 \cdot 10 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 20 = 10 + 26 + 60 = 96$ г.

• Если $m_1=20$ г и $m_3=10$ г, то $M = 1 \cdot 20 + 2 \cdot 13 + 3 \cdot 10 = 20 + 26 + 30 = 76$ г.

Таким образом, если весы покажут 96 г или 76 г, искомые кольца находятся в коробке №2.

Случай 3: Кольца массой 13 г находятся в коробке №3.

Это означает, что $m_3=13$ г. В коробках №1 и №2 находятся кольца по 10 г и 20 г.

• Если $m_1=10$ г и $m_2=20$ г, то $M = 1 \cdot 10 + 2 \cdot 20 + 3 \cdot 13 = 10 + 40 + 39 = 89$ г.

• Если $m_1=20$ г и $m_2=10$ г, то $M = 1 \cdot 20 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 13 = 20 + 20 + 39 = 79$ г.

Таким образом, если весы покажут 89 г или 79 г, искомые кольца находятся в коробке №3.

Все шесть возможных значений общей массы (93, 83, 96, 76, 89, 79) являются уникальными. Поэтому результат единственного взвешивания позволяет однозначно определить, в какой из пронумерованных коробок лежат кольца массой 13 г.

Ответ: нужно пронумеровать коробки (№1, №2, №3), взять из них соответственно 1, 2 и 3 кольца и взвесить их вместе. Если общая масса составит 93 г или 83 г, то кольца по 13 г в коробке №1. Если масса 96 г или 76 г — в коробке №2. Если масса 89 г или 79 г — в коробке №3.