Номер 1279, страница 147, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1279. Сколькими способами можно перевезти $\text{4}$ человека на трехместной лодке на противоположный берег?

Для того чтобы перевезти 4 человека на другой берег с помощью трехместной лодки, необходимо совершить несколько рейсов, так как за один раз всех перевезти невозможно, а лодку нужно возвращать на исходный берег. Задача предполагает поиск количества различных последовательностей переправ, которые приведут к цели. Мы будем рассматривать только наиболее эффективные способы, которые требуют минимального количества рейсов, без лишних действий и возвращений в уже пройденные состояния. Минимальное количество рейсов должно быть нечетным, так как лодка начинает с исходного берега и должна закончить на противоположном. Проанализировав, можно заключить, что минимально необходимо 3 рейса. Рассмотрим все возможные сценарии перевозки за 3 рейса.

Поскольку все люди различны, а порядок их рассадки в лодке не имеет значения, для подсчета количества вариантов выбора людей для каждого рейса мы будем использовать формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сценарий 1: 3 человека плывут на другой берег, 1 возвращается, 2 плывут на другой берег.

1. Первый рейс (исходный берег → противоположный): Необходимо выбрать 3 человека из 4. Количество способов для этого:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$ способа.

После этого на исходном берегу остается 1 человек, а на противоположном находятся 3.

2. Второй рейс (противоположный берег → исходный): Один человек из тех трех, что переправились, должен вернуть лодку. Количество способов выбрать этого человека:

$C_3^1 = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3}{1} = 3$ способа.

Теперь на исходном берегу 2 человека, и на противоположном тоже 2.

3. Третий рейс (исходный берег → противоположный): Оставшиеся 2 человека с исходного берега переправляются на противоположный. Количество способов выбрать 2 из 2:

$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$ способ.

В результате все 4 человека находятся на противоположном берегу.

Общее число способов для этого сценария находится произведением числа способов на каждом шаге: $4 \times 3 \times 1 = 12$ способов.

Сценарий 2: 2 человека плывут на другой берег, 1 возвращается, 3 плывут на другой берег.

1. Первый рейс (исходный берег → противоположный): Выбираем 2 человека из 4. Количество способов:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ способов.

На каждом берегу теперь по 2 человека.

2. Второй рейс (противоположный берег → исходный): Один из 2 человек на противоположном берегу возвращает лодку. Количество способов его выбрать:

$C_2^1 = \frac{2!}{1!(2-1)!} = 2$ способа.

Теперь на исходном берегу 3 человека, на противоположном — 1.

3. Третий рейс (исходный берег → противоположный): Все 3 человека с исходного берега садятся в лодку и переправляются. Количество способов выбрать 3 из 3:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

Все 4 человека достигают цели.

Общее число способов для этого сценария: $6 \times 2 \times 1 = 12$ способов.

Сценарий 3: 3 человека плывут на другой берег, 2 возвращаются, 3 плывут на другой берег.

1. Первый рейс (исходный берег → противоположный): Снова, как в первом сценарии, выбираем 3 человека из 4. Количество способов:

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$ способа.

На исходном берегу 1 человек, на противоположном — 3.

2. Второй рейс (противоположный берег → исходный): Двое из 3 человек на противоположном берегу возвращают лодку. Количество способов выбрать этих двоих:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ способа.

Теперь на исходном берегу 3 человека, на противоположном — 1.

3. Третий рейс (исходный берег → противоположный): Оставшиеся на исходном берегу 3 человека переправляются. Количество способов:

$C_3^3 = \frac{3!}{3!(3-3)!} = 1$ способ.

Все 4 человека на противоположном берегу.

Общее число способов для этого сценария: $4 \times 3 \times 1 = 12$ способов.

Все три рассмотренных сценария являются взаимоисключающими, так как они отличаются последовательностью количества людей в лодке на каждом рейсе. Чтобы найти общее количество способов перевезти 4 человека, нужно сложить количество способов для каждого сценария.

Общее количество способов = (способы из сценария 1) + (способы из сценария 2) + (способы из сценария 3) = $12 + 12 + 12 = 36$.

Ответ: 36