Номер 3, страница 149, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

3. Как можно объяснить однозначность значения зависимой переменной?

Однозначность значения зависимой переменной — это ключевое, определяющее свойство понятия функции в математике и других науках. Объяснить это можно несколькими способами.

В самом общем виде, функция — это правило, по которому каждому элементу $\text{x}$ из одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие один и только один элемент $\text{y}$ из другого множества (называемого областью значений). Переменная $\text{x}$ называется независимой переменной (или аргументом), а $\text{y}$ — зависимой, так как ее значение полностью определяется выбором $\text{x}$.

Таким образом, "однозначность значения зависимой переменной" — это и есть требование, что для любого допустимого значения аргумента $\text{x}$ существует ровно одно соответствующее ему значение функции $\text{y}$. Если бы одному $\text{x}$ могло соответствовать несколько значений $\text{y}$, это было бы уже не функциональной зависимостью, а более общим видом соотношения.

Объяснение на бытовом примере

Представьте себе пульт от телевизора. Каждая кнопка с цифрой (независимая переменная) однозначно соответствует одному телеканалу (зависимая переменная). Когда вы нажимаете кнопку «5», телевизор переключается на 5-й канал, и ни на какой другой. Вы не можете, нажав кнопку «5», получить одновременно и 5-й, и 8-й канал. Эта предсказуемость и есть аналог однозначности функции: одному входу (нажатие кнопки) соответствует ровно один выход (конкретный канал).

Математическое объяснение

Рассмотрим функцию, заданную формулой $y = 2x + 3$. Какое бы значение $\text{x}$ мы ни выбрали, мы всегда получим единственное значение $\text{y}$.

• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
• Если $x = -4$, то $y = 2 \cdot (-4) + 3 = -8 + 3 = -5$.

Для каждого $\text{x}$ результат для $\text{y}$ предопределен и уникален.

Теперь рассмотрим соотношение, которое не является функцией: $y^2 = x$. Если мы выберем $x = 16$, то получим $y^2 = 16$. Этому уравнению удовлетворяют два значения $\text{y}$: $y = 4$ и $y = -4$. Так как одному значению $\text{x}$ соответствует два разных значения $\text{y}$, это соотношение не является функцией $\text{y}$ от $\text{x}$, потому что нарушен принцип однозначности.

Графическое объяснение (тест с вертикальной линией)

Однозначность функции очень наглядно видна на ее графике в декартовой системе координат. Если зависимость является функциональной, то любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересечет его не более чем в одной точке.

Почему это так? Вертикальная линия на графике соответствует одному единственному значению $\text{x}$. Если линия пересекает график один раз, значит, этому $\text{x}$ соответствует одно значение $\text{y}$. Если бы линия пересекла график в двух или более точках, это бы означало, что для одного и того же значения $\text{x}$ существует несколько разных значений $\text{y}$, что противоречит определению функции.

Например, график параболы $y=x^2$ является функцией (любая вертикальная линия пересекает его только в одной точке). А график окружности $x^2 + y^2 = 9$ не является графиком функции, так как, например, вертикальная линия $x=1$ пересекает окружность в двух точках: $(1, \sqrt{8})$ и $(1, -\sqrt{8})$.

Ответ: Однозначность значения зависимой переменной можно объяснить как фундаментальное требование к понятию функции, согласно которому каждому значению независимой переменной (входу) должен соответствовать один и только один результат — значение зависимой переменной (выход). Это обеспечивает предсказуемость и определенность математических и физических законов, описываемых с помощью функций.