Номер 1338, страница 168, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Алдамуратова, Байшоланова

1338. Вычислите, выразив дроби в натуральных числах:

1) $\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}};$

2) $\frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}{\frac{7}{8}-\frac{2}{3}-\frac{1}{12}};$

3) $\frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}-\frac{5}{9}-\frac{1}{18}}.$

1) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}} $

Чтобы упростить это выражение, следуя указанию "выразив дроби в натуральных числах", мы можем домножить числитель и знаменатель основной дроби на одно и то же число, чтобы избавиться от всех "маленьких" дробей. Это число — наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей всех дробей, то есть НОК(4, 5, 2). НОК(4, 5, 2) = 20.

Домножим числитель и знаменатель основной дроби на 20:

$ \frac{(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{2}) \cdot 20}{(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5}) \cdot 20} = \frac{\frac{1}{4} \cdot 20 + \frac{1}{5} \cdot 20 + \frac{1}{2} \cdot 20}{\frac{1}{2} \cdot 20 - \frac{1}{4} \cdot 20 - \frac{1}{5} \cdot 20} $

Теперь выполним вычисления в числителе и знаменателе, получая натуральные числа:

Числитель: $ 5 + 4 + 10 = 19 $.

Знаменатель: $ 10 - 5 - 4 = 1 $.

В результате получаем простую дробь:

$ \frac{19}{1} = 19 $.

Ответ: 19

2) Исходное выражение: $ \frac{\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{6}}{\frac{7}{8} - \frac{2}{3} - \frac{1}{12}} $

Найдем наименьшее общее кратное для знаменателей всех дробей: 3, 4, 6, 8, 12. НОК(3, 4, 6, 8, 12) = 24.

Домножим числитель и знаменатель основной дроби на 24, чтобы преобразовать их в натуральные числа:

$ \frac{(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{6}) \cdot 24}{(\frac{7}{8} - \frac{2}{3} - \frac{1}{12}) \cdot 24} = \frac{\frac{2}{3} \cdot 24 + \frac{3}{4} \cdot 24 - \frac{1}{6} \cdot 24}{\frac{7}{8} \cdot 24 - \frac{2}{3} \cdot 24 - \frac{1}{12} \cdot 24} $

Вычислим полученные выражения в числителе и знаменателе:

Числитель: $ (2 \cdot 8) + (3 \cdot 6) - (1 \cdot 4) = 16 + 18 - 4 = 30 $.

Знаменатель: $ (7 \cdot 3) - (2 \cdot 8) - (1 \cdot 2) = 21 - 16 - 2 = 3 $.

В результате получаем:

$ \frac{30}{3} = 10 $.

Ответ: 10

3) Исходное выражение: $ \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}}{\frac{2}{3} - \frac{5}{9} - \frac{1}{18}} $

Найдем наименьшее общее кратное для знаменателей всех дробей: 2, 4, 6, 3, 9, 18. НОК(2, 3, 4, 6, 9, 18) = 36.

Домножим числитель и знаменатель основной дроби на 36, чтобы преобразовать их в натуральные числа:

$ \frac{(\frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}) \cdot 36}{(\frac{2}{3} - \frac{5}{9} - \frac{1}{18}) \cdot 36} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 36 - \frac{1}{4} \cdot 36 - \frac{1}{6} \cdot 36}{\frac{2}{3} \cdot 36 - \frac{5}{9} \cdot 36 - \frac{1}{18} \cdot 36} $

Вычислим полученные выражения в числителе и знаменателе:

Числитель: $ 18 - 9 - 6 = 3 $.

Знаменатель: $ (2 \cdot 12) - (5 \cdot 4) - (1 \cdot 2) = 24 - 20 - 2 = 2 $.

В результате получаем дробь:

$ \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $